Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31153 / 19805
↖ ↑ ↗
← N 57.806725°
W  8.871460°		 ← 325.45 m → N 57.806725°
W  8.865967°		 →
↑
325.43 m
↓
↑
325.43 m
↓
N 57.803798°
W  8.871460°		 ← 325.47 m →
105 915 m²		 N 57.803798°
W  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475364685058594 y=0.302207946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475364685058594 × 216)
    floor (0.475364685058594 × 65536)
    floor (31153.5)     		tx = 31153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302207946777344 × 216)
    floor (0.302207946777344 × 65536)
    floor (19805.5)     		ty = 19805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31153 / 19805 ti = "16/31153/19805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31153/19805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31153 ÷ 216
    31153 ÷ 65536     		x = 0.475357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19805 ÷ 216
    19805 ÷ 65536     		y = 0.302200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302200317382812 × 2 - 1) × π
    0.395599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24281205954958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15483619} λ = -0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24281205954958))-π/2
    2×atan(3.46534453136277)-π/2
    2×1.28985700257707-π/2
    2.57971400515414-1.57079632675     		φ = 1.00891768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00891768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.806725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31153 KachelY 19805 -0.15483619 1.00891768 -8.871460 57.806725
    Oben rechts KachelX + 1 31154 KachelY 19805 -0.15474031 1.00891768 -8.865967 57.806725
    Unten links KachelX 31153 KachelY + 1 19806 -0.15483619 1.00886660 -8.871460 57.803798
    Unten rechts KachelX + 1 31154 KachelY + 1 19806 -0.15474031 1.00886660 -8.865967 57.803798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00891768-1.00886660) × R
    5.10799999999811e-05 × 6371000     		dl = 325.43067999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00891768-1.00886660) × R
    5.10799999999811e-05 × 6371000     		dr = 325.43067999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15483619--0.15474031) × cos(1.00891768) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532776952722276 × 6371000     		do = 325.447590080362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15483619--0.15474031) × cos(1.00886660) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532820178768629 × 6371000     		du = 325.473994774751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00891768)-sin(1.00886660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532776952722276-0.532820178768629)×R²
    abs(-0.15474031--0.15483619)×4.32260463528733e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.32260463528733e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.32260463528733e-05×40589641000000     		ar = 105914.927015796m²