Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31153 / 19506
↖ ↑ ↗
← N 58.671226°
W  8.871460°		 ← 317.61 m → N 58.671226°
W  8.865967°		 →
↑
317.59 m
↓
↑
317.59 m
↓
N 58.668370°
W  8.871460°		 ← 317.64 m →
100 876 m²		 N 58.668370°
W  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475364685058594 y=0.297645568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475364685058594 × 216)
    floor (0.475364685058594 × 65536)
    floor (31153.5)     		tx = 31153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297645568847656 × 216)
    floor (0.297645568847656 × 65536)
    floor (19506.5)     		ty = 19506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31153 / 19506 ti = "16/31153/19506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31153/19506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31153 ÷ 216
    31153 ÷ 65536     		x = 0.475357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19506 ÷ 216
    19506 ÷ 65536     		y = 0.297637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297637939453125 × 2 - 1) × π
    0.40472412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27147832552237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15483619} λ = -0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27147832552237))-π/2
    2×atan(3.56612055452407)-π/2
    2×1.29740119675193-π/2
    2.59480239350386-1.57079632675     		φ = 1.02400607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02400607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.671226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31153 KachelY 19506 -0.15483619 1.02400607 -8.871460 58.671226
    Oben rechts KachelX + 1 31154 KachelY 19506 -0.15474031 1.02400607 -8.865967 58.671226
    Unten links KachelX 31153 KachelY + 1 19507 -0.15483619 1.02395622 -8.871460 58.668370
    Unten rechts KachelX + 1 31154 KachelY + 1 19507 -0.15474031 1.02395622 -8.865967 58.668370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02400607-1.02395622) × R
    4.98499999999069e-05 × 6371000     		dl = 317.594349999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02400607-1.02395622) × R
    4.98499999999069e-05 × 6371000     		dr = 317.594349999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15483619--0.15474031) × cos(1.02400607) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.519948156359785 × 6371000     		do = 317.611100835713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15483619--0.15474031) × cos(1.02395622) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.519990737475023 × 6371000     		du = 317.637111572977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02400607)-sin(1.02395622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519948156359785-0.519990737475023)×R²
    abs(-0.15474031--0.15483619)×4.25811152388045e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.25811152388045e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.25811152388045e-05×40589641000000     		ar = 100875.621574645m²