Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31151 / 38008
↖ ↑ ↗
← S 27.644606°
W  8.882446°		 ← 541.06 m → S 27.644606°
W  8.876953°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
S 27.649472°
W  8.882446°		 ← 541.04 m →
292 756 m²		 S 27.649472°
W  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475334167480469 y=0.579963684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475334167480469 × 216)
    floor (0.475334167480469 × 65536)
    floor (31151.5)     		tx = 31151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579963684082031 × 216)
    floor (0.579963684082031 × 65536)
    floor (38008.5)     		ty = 38008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31151 / 38008 ti = "16/31151/38008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31151/38008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31151 ÷ 216
    31151 ÷ 65536     		x = 0.475326538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38008 ÷ 216
    38008 ÷ 65536     		y = 0.5799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.049346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15502793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15502793} λ = -0.15502793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502378708018189))-π/2
    2×atan(0.605089614960933)-π/2
    2×0.544153462512434-π/2
    1.08830692502487-1.57079632675     		φ = -0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15502793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31151 KachelY 38008 -0.15502793 -0.48248940 -8.882446 -27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 31152 KachelY 38008 -0.15493206 -0.48248940 -8.876953 -27.644606
    Unten links KachelX 31151 KachelY + 1 38009 -0.15502793 -0.48257433 -8.882446 -27.649472
    Unten rechts KachelX + 1 31152 KachelY + 1 38009 -0.15493206 -0.48257433 -8.876953 -27.649472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48248940--0.48257433) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dl = 541.089029999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48248940--0.48257433) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dr = 541.089029999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15502793--0.15493206) × cos(-0.48248940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 541.061839958449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15502793--0.15493206) × cos(-0.48257433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885803212973703 × 6371000     		du = 541.037769111031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48248940)-sin(-0.48257433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.885803212973703)×R²
    abs(-0.15493206--0.15502793)×3.94095111262427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94095111262427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94095111262427e-05×40589641000000     		ar = 292756.114093186m²