Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31150 / 6766
↖ ↑ ↗
← N 72.026510°
E162.224121°		 ← 376.97 m → N 72.026510°
E162.235108°		 →
↑
376.97 m
↓
↑
376.97 m
↓
N 72.023120°
E162.224121°		 ← 377.04 m →
142 120 m²		 N 72.023120°
E162.235108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950637817382812 y=0.206497192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950637817382812 × 215)
    floor (0.950637817382812 × 32768)
    floor (31150.5)     		tx = 31150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206497192382812 × 215)
    floor (0.206497192382812 × 32768)
    floor (6766.5)     		ty = 6766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31150 / 6766 ti = "15/31150/6766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31150/6766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31150 ÷ 215
    31150 ÷ 32768     		x = 0.95062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6766 ÷ 215
    6766 ÷ 32768     		y = 0.20648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95062255859375 × 2 - 1) × π
    0.9012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.83134504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20648193359375 × 2 - 1) × π
    0.5870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8442284021828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83134504} λ = 2.83134504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8442284021828))-π/2
    2×atan(6.32321892569121)-π/2
    2×1.41394803973835-π/2
    2.8278960794767-1.57079632675     		φ = 1.25709975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83134504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.224121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25709975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.026510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31150 KachelY 6766 2.83134504 1.25709975 162.224121 72.026510
    Oben rechts KachelX + 1 31151 KachelY 6766 2.83153679 1.25709975 162.235108 72.026510
    Unten links KachelX 31150 KachelY + 1 6767 2.83134504 1.25704058 162.224121 72.023120
    Unten rechts KachelX + 1 31151 KachelY + 1 6767 2.83153679 1.25704058 162.235108 72.023120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25709975-1.25704058) × R
    5.91700000001083e-05 × 6371000     		dl = 376.97207000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25709975-1.25704058) × R
    5.91700000001083e-05 × 6371000     		dr = 376.97207000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83134504-2.83153679) × cos(1.25709975) × R
    0.000191749999999935 × 0.308576918339474 × 6371000     		do = 376.969675087419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83134504-2.83153679) × cos(1.25704058) × R
    0.000191749999999935 × 0.308633200267355 × 6371000     		du = 377.038431299583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25709975)-sin(1.25704058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308576918339474-0.308633200267355)×R²
    abs(2.83153679-2.83134504)×5.62819278804305e-05×R²
    0.000191749999999935×5.62819278804305e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.62819278804305e-05×40589641000000     		ar = 142119.998373014m²