Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3115 / 5275
↖ ↑ ↗
← S 45.920587°
W 43.110352°		 ← 3 399.31 m → S 45.920587°
W 43.066406°		 →
↑
3 398.42 m
↓
↑
3 398.42 m
↓
S 45.951150°
W 43.110352°		 ← 3 397.44 m →
11 549 104 m²		 S 45.951150°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38031005859375 y=0.64398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38031005859375 × 213)
    floor (0.38031005859375 × 8192)
    floor (3115.5)     		tx = 3115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64398193359375 × 213)
    floor (0.64398193359375 × 8192)
    floor (5275.5)     		ty = 5275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3115 / 5275 ti = "13/3115/5275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3115/5275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3115 ÷ 213
    3115 ÷ 8192     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5275 ÷ 213
    5275 ÷ 8192     		y = 0.6439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904281674432739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904281674432739))-π/2
    2×atan(0.404832582277223)-π/2
    2×0.384665441598817-π/2
    0.769330883197634-1.57079632675     		φ = -0.80146544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80146544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.920587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3115 KachelY 5275 -0.75241758 -0.80146544 -43.110352 -45.920587
    Oben rechts KachelX + 1 3116 KachelY 5275 -0.75165059 -0.80146544 -43.066406 -45.920587
    Unten links KachelX 3115 KachelY + 1 5276 -0.75241758 -0.80199886 -43.110352 -45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 3116 KachelY + 1 5276 -0.75165059 -0.80199886 -43.066406 -45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80146544--0.80199886) × R
    0.000533420000000007 × 6371000     		dl = 3398.41882000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80146544--0.80199886) × R
    0.000533420000000007 × 6371000     		dr = 3398.41882000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75165059) × cos(-0.80146544) × R
    0.000766990000000023 × 0.695654719319868 × 6371000     		do = 3399.31211811347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75165059) × cos(-0.80199886) × R
    0.000766990000000023 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 3397.43914850179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80146544)-sin(-0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695654719319868-0.695271424081233)×R²
    abs(-0.75165059--0.75241758)×0.000383295238634673×R²
    0.000766990000000023×0.000383295238634673×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383295238634673×40589641000000     		ar = 11549103.9835063m²