Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3115 / 3599
↖ ↑ ↗
← N 21.330315°
W 43.110352°		 ← 4 551.76 m → N 21.330315°
W 43.066406°		 →
↑
4 552.40 m
↓
↑
4 552.40 m
↓
N 21.289374°
W 43.110352°		 ← 4 553.03 m →
20 724 327 m²		 N 21.289374°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38031005859375 y=0.43939208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38031005859375 × 213)
    floor (0.38031005859375 × 8192)
    floor (3115.5)     		tx = 3115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43939208984375 × 213)
    floor (0.43939208984375 × 8192)
    floor (3599.5)     		ty = 3599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3115 / 3599 ti = "13/3115/3599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3115/3599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3115 ÷ 213
    3115 ÷ 8192     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3599 ÷ 213
    3599 ÷ 8192     		y = 0.4393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.381194225778687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.381194225778687))-π/2
    2×atan(1.46403193053893)-π/2
    2×0.971540277651954-π/2
    1.94308055530391-1.57079632675     		φ = 0.37228423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37228423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.330315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3115 KachelY 3599 -0.75241758 0.37228423 -43.110352 21.330315
    Oben rechts KachelX + 1 3116 KachelY 3599 -0.75165059 0.37228423 -43.066406 21.330315
    Unten links KachelX 3115 KachelY + 1 3600 -0.75241758 0.37156968 -43.110352 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 3116 KachelY + 1 3600 -0.75165059 0.37156968 -43.066406 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37228423-0.37156968) × R
    0.00071454999999998 × 6371000     		dl = 4552.39804999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37228423-0.37156968) × R
    0.00071454999999998 × 6371000     		dr = 4552.39804999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75165059) × cos(0.37228423) × R
    0.000766990000000023 × 0.931498901201934 × 6371000     		do = 4551.76313036576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75165059) × cos(0.37156968) × R
    0.000766990000000023 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 4553.03203318717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37228423)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931498901201934-0.931758576749633)×R²
    abs(-0.75165059--0.75241758)×0.000259675547698457×R²
    0.000766990000000023×0.000259675547698457×6371000²
    0.000766990000000023×0.000259675547698457×40589641000000     		ar = 20724326.7558913m²