Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3115 / 3147
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 93.779297°		 ← 3 501.42 m → S 69.005675°
E 93.867187°		 →
↑
3 498.95 m
↓
↑
3 498.95 m
↓
S 69.037142°
E 93.779297°		 ← 3 496.41 m →
12 242 543 m²		 S 69.037142°
E 93.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7606201171875 y=0.7684326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7606201171875 × 212)
    floor (0.7606201171875 × 4096)
    floor (3115.5)     		tx = 3115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7684326171875 × 212)
    floor (0.7684326171875 × 4096)
    floor (3147.5)     		ty = 3147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3115 / 3147 ti = "12/3115/3147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3115/3147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3115 ÷ 212
    3115 ÷ 4096     		x = 0.760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3147 ÷ 212
    3147 ÷ 4096     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760498046875 × 2 - 1) × π
    0.52099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63675750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63675750} λ = 1.63675750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63675750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3115 KachelY 3147 1.63675750 -1.20437623 93.779297 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 3116 KachelY 3147 1.63829148 -1.20437623 93.867187 -69.005675
    Unten links KachelX 3115 KachelY + 1 3148 1.63675750 -1.20492543 93.779297 -69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 3116 KachelY + 1 3148 1.63829148 -1.20492543 93.867187 -69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20492543) × R
    0.000549200000000027 × 6371000     		dl = 3498.95320000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20492543) × R
    0.000549200000000027 × 6371000     		dr = 3498.95320000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63675750-1.63829148) × cos(-1.20437623) × R
    0.00153397999999982 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 3501.42146057276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63675750-1.63829148) × cos(-1.20492543) × R
    0.00153397999999982 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 3496.40991344229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.357762684397617)×R²
    abs(1.63829148-1.63675750)×0.00051279586741021×R²
    0.00153397999999982×0.00051279586741021×6371000²
    0.00153397999999982×0.00051279586741021×40589641000000     		ar = 12242542.5472987m²