Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31149 / 19551
↖ ↑ ↗
← N 58.542462°
W  8.893433°		 ← 318.75 m → N 58.542462°
W  8.887940°		 →
↑
318.80 m
↓
↑
318.80 m
↓
N 58.539595°
W  8.893433°		 ← 318.78 m →
101 623 m²		 N 58.539595°
W  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475303649902344 y=0.298332214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475303649902344 × 216)
    floor (0.475303649902344 × 65536)
    floor (31149.5)     		tx = 31149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298332214355469 × 216)
    floor (0.298332214355469 × 65536)
    floor (19551.5)     		ty = 19551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31149 / 19551 ti = "16/31149/19551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31149/19551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31149 ÷ 216
    31149 ÷ 65536     		x = 0.475296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19551 ÷ 216
    19551 ÷ 65536     		y = 0.298324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15521968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298324584960938 × 2 - 1) × π
    0.403350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26716400455656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15521968} λ = -0.15521968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26716400455656))-π/2
    2×atan(3.55076830692402)-π/2
    2×1.29627751680522-π/2
    2.59255503361044-1.57079632675     		φ = 1.02175871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15521968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02175871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.542462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31149 KachelY 19551 -0.15521968 1.02175871 -8.893433 58.542462
    Oben rechts KachelX + 1 31150 KachelY 19551 -0.15512381 1.02175871 -8.887940 58.542462
    Unten links KachelX 31149 KachelY + 1 19552 -0.15521968 1.02170867 -8.893433 58.539595
    Unten rechts KachelX + 1 31150 KachelY + 1 19552 -0.15512381 1.02170867 -8.887940 58.539595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02175871-1.02170867) × R
    5.00400000000845e-05 × 6371000     		dl = 318.804840000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02175871-1.02170867) × R
    5.00400000000845e-05 × 6371000     		dr = 318.804840000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.02175871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521866531723754 × 6371000     		do = 318.749695149179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.02170867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521909216549075 × 6371000     		du = 318.775766518449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02175871)-sin(1.02170867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521866531723754-0.521909216549075)×R²
    abs(-0.15512381--0.15521968)×4.26848253208822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26848253208822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26848253208822e-05×40589641000000     		ar = 101623.101423111m²