Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31149 / 17085
↖ ↑ ↗
← N 64.930525°
W  8.893433°		 ← 258.80 m → N 64.930525°
W  8.887940°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
N 64.928198°
W  8.893433°		 ← 258.82 m →
66 978 m²		 N 64.928198°
W  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475303649902344 y=0.260704040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475303649902344 × 216)
    floor (0.475303649902344 × 65536)
    floor (31149.5)     		tx = 31149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260704040527344 × 216)
    floor (0.260704040527344 × 65536)
    floor (17085.5)     		ty = 17085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31149 / 17085 ti = "16/31149/17085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31149/17085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31149 ÷ 216
    31149 ÷ 65536     		x = 0.475296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17085 ÷ 216
    17085 ÷ 65536     		y = 0.260696411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15521968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260696411132812 × 2 - 1) × π
    0.478607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50358879348268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15521968} λ = -0.15521968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50358879348268))-π/2
    2×atan(4.49780182224101)-π/2
    2×1.35202388908699-π/2
    2.70404777817399-1.57079632675     		φ = 1.13325145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15521968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13325145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.930525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31149 KachelY 17085 -0.15521968 1.13325145 -8.893433 64.930525
    Oben rechts KachelX + 1 31150 KachelY 17085 -0.15512381 1.13325145 -8.887940 64.930525
    Unten links KachelX 31149 KachelY + 1 17086 -0.15521968 1.13321083 -8.893433 64.928198
    Unten rechts KachelX + 1 31150 KachelY + 1 17086 -0.15512381 1.13321083 -8.887940 64.928198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13325145-1.13321083) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dl = 258.790020000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13325145-1.13321083) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dr = 258.790020000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.13325145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423716906792184 × 6371000     		do = 258.80110461089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.13321083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423753699822077 × 6371000     		du = 258.82357734357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13325145)-sin(1.13321083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423716906792184-0.423753699822077)×R²
    abs(-0.15512381--0.15521968)×3.67930298930119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67930298930119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67930298930119e-05×40589641000000     		ar = 66978.0509071305m²