Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31149 / 14069
↖ ↑ ↗
← N 71.093645°
W  8.893433°		 ← 197.91 m → N 71.093645°
W  8.887940°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 71.091865°
W  8.893433°		 ← 197.93 m →
39 177 m²		 N 71.091865°
W  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475303649902344 y=0.214683532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475303649902344 × 216)
    floor (0.475303649902344 × 65536)
    floor (31149.5)     		tx = 31149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214683532714844 × 216)
    floor (0.214683532714844 × 65536)
    floor (14069.5)     		ty = 14069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31149 / 14069 ti = "16/31149/14069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31149/14069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31149 ÷ 216
    31149 ÷ 65536     		x = 0.475296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14069 ÷ 216
    14069 ÷ 65536     		y = 0.214675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.049407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15521968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214675903320312 × 2 - 1) × π
    0.570648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79274417199086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15521968} λ = -0.15521968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79274417199086))-π/2
    2×atan(6.00591112645047)-π/2
    2×1.40580725656002-π/2
    2.81161451312005-1.57079632675     		φ = 1.24081819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15521968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24081819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.093645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31149 KachelY 14069 -0.15521968 1.24081819 -8.893433 71.093645
    Oben rechts KachelX + 1 31150 KachelY 14069 -0.15512381 1.24081819 -8.887940 71.093645
    Unten links KachelX 31149 KachelY + 1 14070 -0.15521968 1.24078712 -8.893433 71.091865
    Unten rechts KachelX + 1 31150 KachelY + 1 14070 -0.15512381 1.24078712 -8.887940 71.091865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24081819-1.24078712) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dl = 197.946969999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24081819-1.24078712) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dr = 197.946969999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.24081819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324022344799631 × 6371000     		do = 197.908885410333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15521968--0.15512381) × cos(1.24078712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324051738398955 × 6371000     		du = 197.926838661317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24081819)-sin(1.24078712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324022344799631-0.324051738398955)×R²
    abs(-0.15512381--0.15521968)×2.9393599324079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9393599324079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9393599324079e-05×40589641000000     		ar = 39177.2411020568m²