Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31148 / 12950
↖ ↑ ↗
← N 72.987269°
W  8.898926°		 ← 178.71 m → N 72.987269°
W  8.893433°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 72.985662°
W  8.898926°		 ← 178.72 m →
31 938 m²		 N 72.985662°
W  8.893433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475288391113281 y=0.197608947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475288391113281 × 216)
    floor (0.475288391113281 × 65536)
    floor (31148.5)     		tx = 31148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197608947753906 × 216)
    floor (0.197608947753906 × 65536)
    floor (12950.5)     		ty = 12950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31148 / 12950 ti = "16/31148/12950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31148/12950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31148 ÷ 216
    31148 ÷ 65536     		x = 0.47528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12950 ÷ 216
    12950 ÷ 65536     		y = 0.197601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197601318359375 × 2 - 1) × π
    0.60479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90002695334055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15531555} λ = -0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90002695334055))-π/2
    2×atan(6.68607465189764)-π/2
    2×1.42233223726286-π/2
    2.84466447452573-1.57079632675     		φ = 1.27386815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27386815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.987269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31148 KachelY 12950 -0.15531555 1.27386815 -8.898926 72.987269
    Oben rechts KachelX + 1 31149 KachelY 12950 -0.15521968 1.27386815 -8.893433 72.987269
    Unten links KachelX 31148 KachelY + 1 12951 -0.15531555 1.27384010 -8.898926 72.985662
    Unten rechts KachelX + 1 31149 KachelY + 1 12951 -0.15521968 1.27384010 -8.893433 72.985662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27386815-1.27384010) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27386815-1.27384010) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15531555--0.15521968) × cos(1.27386815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292584192202904 × 6371000     		do = 178.706846292859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15531555--0.15521968) × cos(1.27384010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292611014613239 × 6371000     		du = 178.723229093054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27386815)-sin(1.27384010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292584192202904-0.292611014613239)×R²
    abs(-0.15521968--0.15531555)×2.68224103356363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68224103356363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68224103356363e-05×40589641000000     		ar = 31937.5478215003m²