Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31147 / 17090
↖ ↑ ↗
← N 64.918885°
W  8.904419°		 ← 258.94 m → N 64.918885°
W  8.898926°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 64.916557°
W  8.904419°		 ← 258.96 m →
67 047 m²		 N 64.916557°
W  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475273132324219 y=0.260780334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475273132324219 × 216)
    floor (0.475273132324219 × 65536)
    floor (31147.5)     		tx = 31147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260780334472656 × 216)
    floor (0.260780334472656 × 65536)
    floor (17090.5)     		ty = 17090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31147 / 17090 ti = "16/31147/17090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31147/17090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31147 ÷ 216
    31147 ÷ 65536     		x = 0.475265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17090 ÷ 216
    17090 ÷ 65536     		y = 0.260772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.049468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15541143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260772705078125 × 2 - 1) × π
    0.47845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50310942448648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15541143} λ = -0.15541143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50310942448648))-π/2
    2×atan(4.49564623219917)-π/2
    2×1.35192230866184-π/2
    2.70384461732367-1.57079632675     		φ = 1.13304829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15541143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13304829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.918885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31147 KachelY 17090 -0.15541143 1.13304829 -8.904419 64.918885
    Oben rechts KachelX + 1 31148 KachelY 17090 -0.15531555 1.13304829 -8.898926 64.918885
    Unten links KachelX 31147 KachelY + 1 17091 -0.15541143 1.13300765 -8.904419 64.916557
    Unten rechts KachelX + 1 31148 KachelY + 1 17091 -0.15531555 1.13300765 -8.898926 64.916557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13304829-1.13300765) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13304829-1.13300765) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15541143--0.15531555) × cos(1.13304829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		do = 258.940503922667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15541143--0.15531555) × cos(1.13300765) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423937726937831 × 6371000     		du = 258.96298792779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13304829)-sin(1.13300765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423900919291686-0.423937726937831)×R²
    abs(-0.15531555--0.15541143)×3.68076461447209e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68076461447209e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68076461447209e-05×40589641000000     		ar = 67047.1231478366m²