Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31147 / 12951
↖ ↑ ↗
← N 72.985662°
W  8.904419°		 ← 178.74 m → N 72.985662°
W  8.898926°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
N 72.984054°
W  8.904419°		 ← 178.76 m →
31 955 m²		 N 72.984054°
W  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475273132324219 y=0.197624206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475273132324219 × 216)
    floor (0.475273132324219 × 65536)
    floor (31147.5)     		tx = 31147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197624206542969 × 216)
    floor (0.197624206542969 × 65536)
    floor (12951.5)     		ty = 12951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31147 / 12951 ti = "16/31147/12951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31147/12951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31147 ÷ 216
    31147 ÷ 65536     		x = 0.475265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12951 ÷ 216
    12951 ÷ 65536     		y = 0.197616577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.049468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15541143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197616577148438 × 2 - 1) × π
    0.604766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89993107954131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15541143} λ = -0.15541143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89993107954131))-π/2
    2×atan(6.68543366324626)-π/2
    2×1.42231821104077-π/2
    2.84463642208154-1.57079632675     		φ = 1.27384010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15541143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27384010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.985662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31147 KachelY 12951 -0.15541143 1.27384010 -8.904419 72.985662
    Oben rechts KachelX + 1 31148 KachelY 12951 -0.15531555 1.27384010 -8.898926 72.985662
    Unten links KachelX 31147 KachelY + 1 12952 -0.15541143 1.27381204 -8.904419 72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 31148 KachelY + 1 12952 -0.15531555 1.27381204 -8.898926 72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27384010-1.27381204) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27384010-1.27381204) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15541143--0.15531555) × cos(1.27384010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292611014613239 × 6371000     		do = 178.741871340785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15541143--0.15531555) × cos(1.27381204) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 178.758261550306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27384010)-sin(1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292611014613239-0.292637846355581)×R²
    abs(-0.15531555--0.15541143)×2.68317423419706e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.68317423419706e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.68317423419706e-05×40589641000000     		ar = 31955.1958555959m²