Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31146 / 19511
↖ ↑ ↗
← N 58.656942°
W  8.909912°		 ← 317.71 m → N 58.656942°
W  8.904419°		 →
↑
317.72 m
↓
↑
317.72 m
↓
N 58.654085°
W  8.909912°		 ← 317.73 m →
100 947 m²		 N 58.654085°
W  8.904419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475257873535156 y=0.297721862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475257873535156 × 216)
    floor (0.475257873535156 × 65536)
    floor (31146.5)     		tx = 31146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297721862792969 × 216)
    floor (0.297721862792969 × 65536)
    floor (19511.5)     		ty = 19511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31146 / 19511 ti = "16/31146/19511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31146/19511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31146 ÷ 216
    31146 ÷ 65536     		x = 0.475250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19511 ÷ 216
    19511 ÷ 65536     		y = 0.297714233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15550730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297714233398438 × 2 - 1) × π
    0.404571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27099895652617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15550730} λ = -0.15550730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27099895652617))-π/2
    2×atan(3.56441147656574)-π/2
    2×1.297276547721-π/2
    2.594553095442-1.57079632675     		φ = 1.02375677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15550730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02375677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.656942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31146 KachelY 19511 -0.15550730 1.02375677 -8.909912 58.656942
    Oben rechts KachelX + 1 31147 KachelY 19511 -0.15541143 1.02375677 -8.904419 58.656942
    Unten links KachelX 31146 KachelY + 1 19512 -0.15550730 1.02370690 -8.909912 58.654085
    Unten rechts KachelX + 1 31147 KachelY + 1 19512 -0.15541143 1.02370690 -8.904419 58.654085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02375677-1.02370690) × R
    4.98700000000074e-05 × 6371000     		dl = 317.721770000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02375677-1.02370690) × R
    4.98700000000074e-05 × 6371000     		dr = 317.721770000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15550730--0.15541143) × cos(1.02375677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520161091716443 × 6371000     		do = 317.708033250245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15550730--0.15541143) × cos(1.02370690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520203683449229 × 6371000     		du = 317.734047759733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02375677)-sin(1.02370690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520161091716443-0.520203683449229)×R²
    abs(-0.15541143--0.15550730)×4.25917327855352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25917327855352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25917327855352e-05×40589641000000     		ar = 100946.891376446m²