Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31145 / 17274
↖ ↑ ↗
← N 64.486993°
W  8.915405°		 ← 263.10 m → N 64.486993°
W  8.909912°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 64.484627°
W  8.915405°		 ← 263.13 m →
69 231 m²		 N 64.484627°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475242614746094 y=0.263587951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475242614746094 × 216)
    floor (0.475242614746094 × 65536)
    floor (31145.5)     		tx = 31145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263587951660156 × 216)
    floor (0.263587951660156 × 65536)
    floor (17274.5)     		ty = 17274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31145 / 17274 ti = "16/31145/17274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31145/17274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31145 ÷ 216
    31145 ÷ 65536     		x = 0.475234985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17274 ÷ 216
    17274 ÷ 65536     		y = 0.263580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475234985351562 × 2 - 1) × π
    -0.049530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15560318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263580322265625 × 2 - 1) × π
    0.47283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4854686454263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15560318} λ = -0.15560318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4854686454263))-π/2
    2×atan(4.41703495102849)-π/2
    2×1.3481533437413-π/2
    2.6963066874826-1.57079632675     		φ = 1.12551036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15560318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.915405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12551036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.486993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31145 KachelY 17274 -0.15560318 1.12551036 -8.915405 64.486993
    Oben rechts KachelX + 1 31146 KachelY 17274 -0.15550730 1.12551036 -8.909912 64.486993
    Unten links KachelX 31145 KachelY + 1 17275 -0.15560318 1.12546906 -8.915405 64.484627
    Unten rechts KachelX + 1 31146 KachelY + 1 17275 -0.15550730 1.12546906 -8.909912 64.484627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12551036-1.12546906) × R
    4.13000000001329e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12551036-1.12546906) × R
    4.13000000001329e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15560318--0.15550730) × cos(1.12551036) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.430715979375635 × 6371000     		do = 263.103493461312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15560318--0.15550730) × cos(1.12546906) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.430753251743355 × 6371000     		du = 263.126261342297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12551036)-sin(1.12546906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430715979375635-0.430753251743355)×R²
    abs(-0.15550730--0.15560318)×3.72723677201647e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.72723677201647e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.72723677201647e-05×40589641000000     		ar = 69231.3917160832m²