Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31145 / 16991
↖ ↑ ↗
← N 65.148423°
W  8.915405°		 ← 256.72 m → N 65.148423°
W  8.909912°		 →
↑
256.69 m
↓
↑
256.69 m
↓
N 65.146115°
W  8.915405°		 ← 256.74 m →
65 900 m²		 N 65.146115°
W  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475242614746094 y=0.259269714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475242614746094 × 216)
    floor (0.475242614746094 × 65536)
    floor (31145.5)     		tx = 31145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259269714355469 × 216)
    floor (0.259269714355469 × 65536)
    floor (16991.5)     		ty = 16991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31145 / 16991 ti = "16/31145/16991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31145/16991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31145 ÷ 216
    31145 ÷ 65536     		x = 0.475234985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16991 ÷ 216
    16991 ÷ 65536     		y = 0.259262084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475234985351562 × 2 - 1) × π
    -0.049530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15560318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259262084960938 × 2 - 1) × π
    0.481475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51260093061125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15560318} λ = -0.15560318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51260093061125))-π/2
    2×atan(4.53851983159414)-π/2
    2×1.35392541014732-π/2
    2.70785082029464-1.57079632675     		φ = 1.13705449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15560318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.915405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13705449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.148423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31145 KachelY 16991 -0.15560318 1.13705449 -8.915405 65.148423
    Oben rechts KachelX + 1 31146 KachelY 16991 -0.15550730 1.13705449 -8.909912 65.148423
    Unten links KachelX 31145 KachelY + 1 16992 -0.15560318 1.13701420 -8.915405 65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 31146 KachelY + 1 16992 -0.15550730 1.13701420 -8.909912 65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13705449-1.13701420) × R
    4.02899999998318e-05 × 6371000     		dl = 256.687589998929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13705449-1.13701420) × R
    4.02899999998318e-05 × 6371000     		dr = 256.687589998929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15560318--0.15550730) × cos(1.13705449) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.420269077607696 × 6371000     		do = 256.72198805495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15560318--0.15550730) × cos(1.13701420) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 256.744320043389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13705449)-sin(1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420269077607696-0.420305636393538)×R²
    abs(-0.15550730--0.15560318)×3.65587858426331e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.65587858426331e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.65587858426331e-05×40589641000000     		ar = 65900.214594596m²