Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31144 / 20154
↖ ↑ ↗
← N 56.770789°
W  8.920898°		 ← 334.71 m → N 56.770789°
W  8.915405°		 →
↑
334.73 m
↓
↑
334.73 m
↓
N 56.767778°
W  8.920898°		 ← 334.73 m →
112 041 m²		 N 56.767778°
W  8.915405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475227355957031 y=0.307533264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475227355957031 × 216)
    floor (0.475227355957031 × 65536)
    floor (31144.5)     		tx = 31144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307533264160156 × 216)
    floor (0.307533264160156 × 65536)
    floor (20154.5)     		ty = 20154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31144 / 20154 ti = "16/31144/20154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31144/20154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31144 ÷ 216
    31144 ÷ 65536     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20154 ÷ 216
    20154 ÷ 65536     		y = 0.307525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307525634765625 × 2 - 1) × π
    0.38494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20935210361478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20935210361478))-π/2
    2×atan(3.35131264565842)-π/2
    2×1.28081675168923-π/2
    2.56163350337846-1.57079632675     		φ = 0.99083718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99083718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.770789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31144 KachelY 20154 -0.15569905 0.99083718 -8.920898 56.770789
    Oben rechts KachelX + 1 31145 KachelY 20154 -0.15560318 0.99083718 -8.915405 56.770789
    Unten links KachelX 31144 KachelY + 1 20155 -0.15569905 0.99078464 -8.920898 56.767778
    Unten rechts KachelX + 1 31145 KachelY + 1 20155 -0.15560318 0.99078464 -8.915405 56.767778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99083718-0.99078464) × R
    5.25399999999898e-05 × 6371000     		dl = 334.732339999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99083718-0.99078464) × R
    5.25399999999898e-05 × 6371000     		dr = 334.732339999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15560318) × cos(0.99083718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547989764154363 × 6371000     		do = 334.705446030662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15560318) × cos(0.99078464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548033712321877 × 6371000     		du = 334.732289033893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99083718)-sin(0.99078464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547989764154363-0.548033712321877)×R²
    abs(-0.15560318--0.15569905)×4.394816751363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.394816751363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.394816751363e-05×40589641000000     		ar = 112041.229796799m²