Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31144 / 12952
↖ ↑ ↗
← N 72.984054°
W  8.920898°		 ← 178.74 m → N 72.984054°
W  8.915405°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
N 72.982446°
W  8.920898°		 ← 178.76 m →
31 955 m²		 N 72.982446°
W  8.915405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475227355957031 y=0.197639465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475227355957031 × 216)
    floor (0.475227355957031 × 65536)
    floor (31144.5)     		tx = 31144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197639465332031 × 216)
    floor (0.197639465332031 × 65536)
    floor (12952.5)     		ty = 12952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31144 / 12952 ti = "16/31144/12952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31144/12952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31144 ÷ 216
    31144 ÷ 65536     		x = 0.4752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12952 ÷ 216
    12952 ÷ 65536     		y = 0.1976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1976318359375 × 2 - 1) × π
    0.604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89983520574207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15569905} λ = -0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89983520574207))-π/2
    2×atan(6.68479273604595)-π/2
    2×1.42230418353273-π/2
    2.84460836706545-1.57079632675     		φ = 1.27381204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27381204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.984054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31144 KachelY 12952 -0.15569905 1.27381204 -8.920898 72.984054
    Oben rechts KachelX + 1 31145 KachelY 12952 -0.15560318 1.27381204 -8.915405 72.984054
    Unten links KachelX 31144 KachelY + 1 12953 -0.15569905 1.27378398 -8.920898 72.982446
    Unten rechts KachelX + 1 31145 KachelY + 1 12953 -0.15560318 1.27378398 -8.915405 72.982446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27381204-1.27378398) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27381204-1.27378398) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15569905--0.15560318) × cos(1.27381204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292637846355581 × 6371000     		do = 178.739617593124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15569905--0.15560318) × cos(1.27378398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292664677867511 × 6371000     		du = 178.756005952461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27381204)-sin(1.27378398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292637846355581-0.292664677867511)×R²
    abs(-0.15560318--0.15569905)×2.68315119296147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68315119296147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68315119296147e-05×40589641000000     		ar = 31954.7927869874m²