Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31143 / 17550
↖ ↑ ↗
← N 63.826134°
W  8.926391°		 ← 269.42 m → N 63.826134°
W  8.920898°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 63.823711°
W  8.926391°		 ← 269.44 m →
72 592 m²		 N 63.823711°
W  8.920898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475212097167969 y=0.267799377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475212097167969 × 216)
    floor (0.475212097167969 × 65536)
    floor (31143.5)     		tx = 31143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267799377441406 × 216)
    floor (0.267799377441406 × 65536)
    floor (17550.5)     		ty = 17550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31143 / 17550 ti = "16/31143/17550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31143/17550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31143 ÷ 216
    31143 ÷ 65536     		x = 0.475204467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17550 ÷ 216
    17550 ÷ 65536     		y = 0.267791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475204467773438 × 2 - 1) × π
    -0.049591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15579492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267791748046875 × 2 - 1) × π
    0.46441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45900747683603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15579492} λ = -0.15579492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45900747683603))-π/2
    2×atan(4.30168788397386)-π/2
    2×1.34238625782888-π/2
    2.68477251565777-1.57079632675     		φ = 1.11397619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15579492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.926391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11397619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.826134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31143 KachelY 17550 -0.15579492 1.11397619 -8.926391 63.826134
    Oben rechts KachelX + 1 31144 KachelY 17550 -0.15569905 1.11397619 -8.920898 63.826134
    Unten links KachelX 31143 KachelY + 1 17551 -0.15579492 1.11393390 -8.926391 63.823711
    Unten rechts KachelX + 1 31144 KachelY + 1 17551 -0.15569905 1.11393390 -8.920898 63.823711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11397619-1.11393390) × R
    4.22900000001114e-05 × 6371000     		dl = 269.42959000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11397619-1.11393390) × R
    4.22900000001114e-05 × 6371000     		dr = 269.42959000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15579492--0.15569905) × cos(1.11397619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441096542905223 × 6371000     		do = 269.416373795784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15579492--0.15569905) × cos(1.11393390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441134496079759 × 6371000     		du = 269.439555130624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11397619)-sin(1.11393390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441096542905223-0.441134496079759)×R²
    abs(-0.15569905--0.15579492)×3.79531745368089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79531745368089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79531745368089e-05×40589641000000     		ar = 72591.8660107872m²