Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31141 / 6771
↖ ↑ ↗
← N 72.009552°
E162.125244°		 ← 377.31 m → N 72.009552°
E162.136231°		 →
↑
377.29 m
↓
↑
377.29 m
↓
N 72.006159°
E162.125244°		 ← 377.38 m →
142 370 m²		 N 72.006159°
E162.136231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950363159179688 y=0.206649780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950363159179688 × 215)
    floor (0.950363159179688 × 32768)
    floor (31141.5)     		tx = 31141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206649780273438 × 215)
    floor (0.206649780273438 × 32768)
    floor (6771.5)     		ty = 6771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31141 / 6771 ti = "15/31141/6771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31141/6771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31141 ÷ 215
    31141 ÷ 32768     		x = 0.950347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6771 ÷ 215
    6771 ÷ 32768     		y = 0.206634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950347900390625 × 2 - 1) × π
    0.90069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82961931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206634521484375 × 2 - 1) × π
    0.58673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8432696641904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82961931} λ = 2.82961931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8432696641904))-π/2
    2×atan(6.31715952062794)-π/2
    2×1.41380005006473-π/2
    2.82760010012945-1.57079632675     		φ = 1.25680377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82961931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25680377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.009552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31141 KachelY 6771 2.82961931 1.25680377 162.125244 72.009552
    Oben rechts KachelX + 1 31142 KachelY 6771 2.82981106 1.25680377 162.136231 72.009552
    Unten links KachelX 31141 KachelY + 1 6772 2.82961931 1.25674455 162.125244 72.006159
    Unten rechts KachelX + 1 31142 KachelY + 1 6772 2.82981106 1.25674455 162.136231 72.006159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25680377-1.25674455) × R
    5.92200000000265e-05 × 6371000     		dl = 377.290620000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25680377-1.25674455) × R
    5.92200000000265e-05 × 6371000     		dr = 377.290620000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82961931-2.82981106) × cos(1.25680377) × R
    0.000191749999999935 × 0.308858440815428 × 6371000     		do = 377.313593993801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82961931-2.82981106) × cos(1.25674455) × R
    0.000191749999999935 × 0.308914764890687 × 6371000     		du = 377.382401694858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25680377)-sin(1.25674455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308858440815428-0.308914764890687)×R²
    abs(2.82981106-2.82961931)×5.63240752593508e-05×R²
    0.000191749999999935×5.63240752593508e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.63240752593508e-05×40589641000000     		ar = 142369.86010356m²