Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31141 / 17556
↖ ↑ ↗
← N 63.811592°
W  8.937378°		 ← 269.56 m → N 63.811592°
W  8.931885°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 63.809168°
W  8.937378°		 ← 269.58 m →
72 681 m²		 N 63.809168°
W  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475181579589844 y=0.267890930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475181579589844 × 216)
    floor (0.475181579589844 × 65536)
    floor (31141.5)     		tx = 31141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267890930175781 × 216)
    floor (0.267890930175781 × 65536)
    floor (17556.5)     		ty = 17556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31141 / 17556 ti = "16/31141/17556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31141/17556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31141 ÷ 216
    31141 ÷ 65536     		x = 0.475173950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17556 ÷ 216
    17556 ÷ 65536     		y = 0.26788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475173950195312 × 2 - 1) × π
    -0.049652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15598667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26788330078125 × 2 - 1) × π
    0.4642333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45843223404059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15598667} λ = -0.15598667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45843223404059))-π/2
    2×atan(4.29921408059737)-π/2
    2×1.34225935627165-π/2
    2.6845187125433-1.57079632675     		φ = 1.11372239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15598667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.937378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11372239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.811592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31141 KachelY 17556 -0.15598667 1.11372239 -8.937378 63.811592
    Oben rechts KachelX + 1 31142 KachelY 17556 -0.15589080 1.11372239 -8.931885 63.811592
    Unten links KachelX 31141 KachelY + 1 17557 -0.15598667 1.11368007 -8.937378 63.809168
    Unten rechts KachelX + 1 31142 KachelY + 1 17557 -0.15589080 1.11368007 -8.931885 63.809168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11372239-1.11368007) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11372239-1.11368007) × R
    4.23199999999291e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15598667--0.15589080) × cos(1.11372239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		do = 269.555487461169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15598667--0.15589080) × cos(1.11368007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441362279316384 × 6371000     		du = 269.578682345765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11372239)-sin(1.11368007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441324303957781-0.441362279316384)×R²
    abs(-0.15589080--0.15598667)×3.7975358602671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7975358602671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7975358602671e-05×40589641000000     		ar = 72680.8715306098m²