Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31140 / 14459
↖ ↑ ↗
← N 70.387076°
W  8.942871°		 ← 205.04 m → N 70.387076°
W  8.937378°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
N 70.385231°
W  8.942871°		 ← 205.06 m →
42 052 m²		 N 70.385231°
W  8.937378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475166320800781 y=0.220634460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475166320800781 × 216)
    floor (0.475166320800781 × 65536)
    floor (31140.5)     		tx = 31140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220634460449219 × 216)
    floor (0.220634460449219 × 65536)
    floor (14459.5)     		ty = 14459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31140 / 14459 ti = "16/31140/14459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31140/14459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31140 ÷ 216
    31140 ÷ 65536     		x = 0.47515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14459 ÷ 216
    14459 ÷ 65536     		y = 0.220626831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220626831054688 × 2 - 1) × π
    0.558746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75535339028722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15608255} λ = -0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75535339028722))-π/2
    2×atan(5.78549191739)-π/2
    2×1.39964127090985-π/2
    2.79928254181969-1.57079632675     		φ = 1.22848622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22848622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.387076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31140 KachelY 14459 -0.15608255 1.22848622 -8.942871 70.387076
    Oben rechts KachelX + 1 31141 KachelY 14459 -0.15598667 1.22848622 -8.937378 70.387076
    Unten links KachelX 31140 KachelY + 1 14460 -0.15608255 1.22845403 -8.942871 70.385231
    Unten rechts KachelX + 1 31141 KachelY + 1 14460 -0.15598667 1.22845403 -8.937378 70.385231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22848622-1.22845403) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22848622-1.22845403) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15608255--0.15598667) × cos(1.22848622) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.335664064320398 × 6371000     		do = 205.040890472914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15608255--0.15598667) × cos(1.22845403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.335694386539336 × 6371000     		du = 205.05941284523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22848622)-sin(1.22845403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335664064320398-0.335694386539336)×R²
    abs(-0.15598667--0.15608255)×3.03222189380059e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.03222189380059e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.03222189380059e-05×40589641000000     		ar = 42052.1956809658m²