Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3114 / 7181
↖ ↑ ↗
← N 21.677848°
W111.577148°		 ← 2 270.48 m → N 21.677848°
W111.555175°		 →
↑
2 270.62 m
↓
↑
2 270.62 m
↓
N 21.657428°
W111.577148°		 ← 2 270.80 m →
5 155 769 m²		 N 21.657428°
W111.555175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190093994140625 y=0.438323974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190093994140625 × 214)
    floor (0.190093994140625 × 16384)
    floor (3114.5)     		tx = 3114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438323974609375 × 214)
    floor (0.438323974609375 × 16384)
    floor (7181.5)     		ty = 7181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3114 / 7181 ti = "14/3114/7181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3114/7181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3114 ÷ 214
    3114 ÷ 16384     		x = 0.1900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7181 ÷ 214
    7181 ÷ 16384     		y = 0.43829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.94738861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94738861} λ = -1.94738861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387713644127014))-π/2
    2×atan(1.47360774763168)-π/2
    2×0.974573077125673-π/2
    1.94914615425135-1.57079632675     		φ = 0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94738861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3114 KachelY 7181 -1.94738861 0.37834983 -111.577148 21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 3115 KachelY 7181 -1.94700511 0.37834983 -111.555175 21.677848
    Unten links KachelX 3114 KachelY + 1 7182 -1.94738861 0.37799343 -111.577148 21.657428
    Unten rechts KachelX + 1 3115 KachelY + 1 7182 -1.94700511 0.37799343 -111.555175 21.657428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37834983-0.37799343) × R
    0.000356399999999979 × 6371000     		dl = 2270.62439999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37834983-0.37799343) × R
    0.000356399999999979 × 6371000     		dr = 2270.62439999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94738861--1.94700511) × cos(0.37834983) × R
    0.00038349999999987 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 2270.47873421945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94738861--1.94700511) × cos(0.37799343) × R
    0.00038349999999987 × 0.92940704341203 × 6371000     		du = 2270.80024691641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37834983)-sin(0.37799343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.92940704341203)×R²
    abs(-1.94700511--1.94738861)×0.000131590687249661×R²
    0.00038349999999987×0.000131590687249661×6371000²
    0.00038349999999987×0.000131590687249661×40589641000000     		ar = 5155769.48546078m²