Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3114 / 5198
↖ ↑ ↗
← S 43.516688°
W 43.154297°		 ← 3 543.56 m → S 43.516688°
W 43.110352°		 →
↑
3 542.66 m
↓
↑
3 542.66 m
↓
S 43.548548°
W 43.154297°		 ← 3 541.69 m →
12 550 297 m²		 S 43.548548°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38018798828125 y=0.63458251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38018798828125 × 213)
    floor (0.38018798828125 × 8192)
    floor (3114.5)     		tx = 3114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63458251953125 × 213)
    floor (0.63458251953125 × 8192)
    floor (5198.5)     		ty = 5198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3114 / 5198 ti = "13/3114/5198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3114/5198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3114 ÷ 213
    3114 ÷ 8192     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5198 ÷ 213
    5198 ÷ 8192     		y = 0.634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.26904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.84522341410083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84522341410083))-π/2
    2×atan(0.429461399759434)-π/2
    2×0.405643416155645-π/2
    0.81128683231129-1.57079632675     		φ = -0.75950949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75950949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.516688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3114 KachelY 5198 -0.75318457 -0.75950949 -43.154297 -43.516688
    Oben rechts KachelX + 1 3115 KachelY 5198 -0.75241758 -0.75950949 -43.110352 -43.516688
    Unten links KachelX 3114 KachelY + 1 5199 -0.75318457 -0.76006555 -43.154297 -43.548548
    Unten rechts KachelX + 1 3115 KachelY + 1 5199 -0.75241758 -0.76006555 -43.110352 -43.548548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75950949--0.76006555) × R
    0.000556059999999969 × 6371000     		dl = 3542.6582599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75950949--0.76006555) × R
    0.000556059999999969 × 6371000     		dr = 3542.6582599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75241758) × cos(-0.75950949) × R
    0.000766990000000023 × 0.725173846387604 × 6371000     		do = 3543.55713445662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75241758) × cos(-0.76006555) × R
    0.000766990000000023 × 0.724790850382972 × 6371000     		du = 3541.68562704989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75950949)-sin(-0.76006555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725173846387604-0.724790850382972)×R²
    abs(-0.75241758--0.75318457)×0.000382996004631542×R²
    0.000766990000000023×0.000382996004631542×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382996004631542×40589641000000     		ar = 12550297.2199609m²