Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3114 / 3650
↖ ↑ ↗
← N 19.228177°
W 43.154297°		 ← 4 613.90 m → N 19.228177°
W 43.110352°		 →
↑
4 614.45 m
↓
↑
4 614.45 m
↓
N 19.186678°
W 43.154297°		 ← 4 615.06 m →
21 293 296 m²		 N 19.186678°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38018798828125 y=0.44561767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38018798828125 × 213)
    floor (0.38018798828125 × 8192)
    floor (3114.5)     		tx = 3114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44561767578125 × 213)
    floor (0.44561767578125 × 8192)
    floor (3650.5)     		ty = 3650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3114 / 3650 ti = "13/3114/3650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3114/3650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3114 ÷ 213
    3114 ÷ 8192     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3650 ÷ 213
    3650 ÷ 8192     		y = 0.445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    0.10888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.342077715688721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342077715688721))-π/2
    2×atan(1.40786970682653)-π/2
    2×0.953195660007534-π/2
    1.90639132001507-1.57079632675     		φ = 0.33559499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33559499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.228177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3114 KachelY 3650 -0.75318457 0.33559499 -43.154297 19.228177
    Oben rechts KachelX + 1 3115 KachelY 3650 -0.75241758 0.33559499 -43.110352 19.228177
    Unten links KachelX 3114 KachelY + 1 3651 -0.75318457 0.33487070 -43.154297 19.186678
    Unten rechts KachelX + 1 3115 KachelY + 1 3651 -0.75241758 0.33487070 -43.110352 19.186678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33559499-0.33487070) × R
    0.000724289999999961 × 6371000     		dl = 4614.45158999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33559499-0.33487070) × R
    0.000724289999999961 × 6371000     		dr = 4614.45158999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75241758) × cos(0.33559499) × R
    0.000766990000000023 × 0.944214528108996 × 6371000     		do = 4613.89795592526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75241758) × cos(0.33487070) × R
    0.000766990000000023 × 0.944452811591632 × 6371000     		du = 4615.06232656428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33559499)-sin(0.33487070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944214528108996-0.944452811591632)×R²
    abs(-0.75241758--0.75318457)×0.000238283482636437×R²
    0.000766990000000023×0.000238283482636437×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238283482636437×40589641000000     		ar = 21293296.1556543m²