Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31139 / 12947
↖ ↑ ↗
← N 72.992090°
W  8.948364°		 ← 178.66 m → N 72.992090°
W  8.942871°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 72.990482°
W  8.948364°		 ← 178.67 m →
31 929 m²		 N 72.990482°
W  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475151062011719 y=0.197563171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475151062011719 × 216)
    floor (0.475151062011719 × 65536)
    floor (31139.5)     		tx = 31139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197563171386719 × 216)
    floor (0.197563171386719 × 65536)
    floor (12947.5)     		ty = 12947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31139 / 12947 ti = "16/31139/12947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31139/12947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31139 ÷ 216
    31139 ÷ 65536     		x = 0.475143432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12947 ÷ 216
    12947 ÷ 65536     		y = 0.197555541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475143432617188 × 2 - 1) × π
    -0.049713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15617842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197555541992188 × 2 - 1) × π
    0.604888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90031457473827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15617842} λ = -0.15617842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90031457473827))-π/2
    2×atan(6.68799798661713)-π/2
    2×1.42237430821452-π/2
    2.84474861642905-1.57079632675     		φ = 1.27395229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15617842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.948364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27395229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.992090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31139 KachelY 12947 -0.15617842 1.27395229 -8.948364 72.992090
    Oben rechts KachelX + 1 31140 KachelY 12947 -0.15608255 1.27395229 -8.942871 72.992090
    Unten links KachelX 31139 KachelY + 1 12948 -0.15617842 1.27392424 -8.948364 72.990482
    Unten rechts KachelX + 1 31140 KachelY + 1 12948 -0.15608255 1.27392424 -8.942871 72.990482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27395229-1.27392424) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27395229-1.27392424) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15617842--0.15608255) × cos(1.27395229) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.292503733153389 × 6371000     		do = 178.657702889482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15617842--0.15608255) × cos(1.27392424) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.292530556254198 × 6371000     		du = 178.674086111409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27395229)-sin(1.27392424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292503733153389-0.292530556254198)×R²
    abs(-0.15608255--0.15617842)×2.68231008082043e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.68231008082043e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.68231008082043e-05×40589641000000     		ar = 31928.7656109607m²