Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31137 / 19871
↖ ↑ ↗
← N 57.613050°
W  8.959351°		 ← 327.19 m → N 57.613050°
W  8.953857°		 →
↑
327.21 m
↓
↑
327.21 m
↓
N 57.610107°
W  8.959351°		 ← 327.22 m →
107 067 m²		 N 57.610107°
W  8.953857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475120544433594 y=0.303215026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475120544433594 × 216)
    floor (0.475120544433594 × 65536)
    floor (31137.5)     		tx = 31137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303215026855469 × 216)
    floor (0.303215026855469 × 65536)
    floor (19871.5)     		ty = 19871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31137 / 19871 ti = "16/31137/19871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31137/19871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31137 ÷ 216
    31137 ÷ 65536     		x = 0.475112915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19871 ÷ 216
    19871 ÷ 65536     		y = 0.303207397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.049774169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15637017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303207397460938 × 2 - 1) × π
    0.393585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23648438879973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15637017} λ = -0.15637017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23648438879973))-π/2
    2×atan(3.4434862012245)-π/2
    2×1.28816686605233-π/2
    2.57633373210465-1.57079632675     		φ = 1.00553741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15637017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.959351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00553741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.613050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31137 KachelY 19871 -0.15637017 1.00553741 -8.959351 57.613050
    Oben rechts KachelX + 1 31138 KachelY 19871 -0.15627429 1.00553741 -8.953857 57.613050
    Unten links KachelX 31137 KachelY + 1 19872 -0.15637017 1.00548605 -8.959351 57.610107
    Unten rechts KachelX + 1 31138 KachelY + 1 19872 -0.15627429 1.00548605 -8.953857 57.610107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00553741-1.00548605) × R
    5.13600000000558e-05 × 6371000     		dl = 327.214560000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00553741-1.00548605) × R
    5.13600000000558e-05 × 6371000     		dr = 327.214560000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15637017--0.15627429) × cos(1.00553741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.53563447623559 × 6371000     		do = 327.19311254751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15637017--0.15627429) × cos(1.00548605) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.535677846478232 × 6371000     		du = 327.219605324416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00553741)-sin(1.00548605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53563447623559-0.535677846478232)×R²
    abs(-0.15627429--0.15637017)×4.33702426416716e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33702426416716e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33702426416716e-05×40589641000000     		ar = 107066.684791854m²