Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31136 / 19870
↖ ↑ ↗
← N 57.615992°
W  8.964844°		 ← 327.13 m → N 57.615992°
W  8.959351°		 →
↑
327.15 m
↓
↑
327.15 m
↓
N 57.613050°
W  8.964844°		 ← 327.16 m →
107 026 m²		 N 57.613050°
W  8.959351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475105285644531 y=0.303199768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475105285644531 × 216)
    floor (0.475105285644531 × 65536)
    floor (31136.5)     		tx = 31136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303199768066406 × 216)
    floor (0.303199768066406 × 65536)
    floor (19870.5)     		ty = 19870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31136 / 19870 ti = "16/31136/19870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31136/19870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31136 ÷ 216
    31136 ÷ 65536     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19870 ÷ 216
    19870 ÷ 65536     		y = 0.303192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303192138671875 × 2 - 1) × π
    0.39361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23658026259897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23658026259897))-π/2
    2×atan(3.44381635715565)-π/2
    2×1.28819254166925-π/2
    2.57638508333851-1.57079632675     		φ = 1.00558876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00558876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.615992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31136 KachelY 19870 -0.15646604 1.00558876 -8.964844 57.615992
    Oben rechts KachelX + 1 31137 KachelY 19870 -0.15637017 1.00558876 -8.959351 57.615992
    Unten links KachelX 31136 KachelY + 1 19871 -0.15646604 1.00553741 -8.964844 57.613050
    Unten rechts KachelX + 1 31137 KachelY + 1 19871 -0.15637017 1.00553741 -8.959351 57.613050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00558876-1.00553741) × R
    5.13499999998945e-05 × 6371000     		dl = 327.150849999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00558876-1.00553741) × R
    5.13499999998945e-05 × 6371000     		dr = 327.150849999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15637017) × cos(1.00558876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5355911130248 × 6371000     		do = 327.132501556228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15637017) × cos(1.00553741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.53563447623559 × 6371000     		du = 327.158987275047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00558876)-sin(1.00553741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5355911130248-0.53563447623559)×R²
    abs(-0.15637017--0.15646604)×4.33632107901261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33632107901261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33632107901261e-05×40589641000000     		ar = 107026.008382623m²