Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31135 / 6757
↖ ↑ ↗
← N 72.056997°
E162.059326°		 ← 376.33 m → N 72.056997°
E162.070312°		 →
↑
376.40 m
↓
↑
376.40 m
↓
N 72.053612°
E162.059326°		 ← 376.40 m →
141 664 m²		 N 72.053612°
E162.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950180053710938 y=0.206222534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950180053710938 × 215)
    floor (0.950180053710938 × 32768)
    floor (31135.5)     		tx = 31135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206222534179688 × 215)
    floor (0.206222534179688 × 32768)
    floor (6757.5)     		ty = 6757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31135 / 6757 ti = "15/31135/6757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31135/6757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31135 ÷ 215
    31135 ÷ 32768     		x = 0.950164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6757 ÷ 215
    6757 ÷ 32768     		y = 0.206207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950164794921875 × 2 - 1) × π
    0.90032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82846883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206207275390625 × 2 - 1) × π
    0.58758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84595413056912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82846883} λ = 2.82846883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84595413056912))-π/2
    2×atan(6.33414050521361)-π/2
    2×1.41421408128234-π/2
    2.82842816256469-1.57079632675     		φ = 1.25763184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82846883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25763184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.056997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31135 KachelY 6757 2.82846883 1.25763184 162.059326 72.056997
    Oben rechts KachelX + 1 31136 KachelY 6757 2.82866057 1.25763184 162.070312 72.056997
    Unten links KachelX 31135 KachelY + 1 6758 2.82846883 1.25757276 162.059326 72.053612
    Unten rechts KachelX + 1 31136 KachelY + 1 6758 2.82866057 1.25757276 162.070312 72.053612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25763184-1.25757276) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dl = 376.398679999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25763184-1.25757276) × R
    5.90799999999891e-05 × 6371000     		dr = 376.398679999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82846883-2.82866057) × cos(1.25763184) × R
    0.000191739999999996 × 0.308070750996161 × 6371000     		do = 376.331694006332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82846883-2.82866057) × cos(1.25757276) × R
    0.000191739999999996 × 0.308126957011052 × 6371000     		du = 376.400353899324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25763184)-sin(1.25757276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308070750996161-0.308126957011052)×R²
    abs(2.82866057-2.82846883)×5.62060148909249e-05×R²
    0.000191739999999996×5.62060148909249e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.62060148909249e-05×40589641000000     		ar = 141663.67465386m²