Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31135 / 6753
↖ ↑ ↗
← N 72.070530°
E162.059326°		 ← 376.06 m → N 72.070530°
E162.070312°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 72.067147°
E162.059326°		 ← 376.13 m →
141 464 m²		 N 72.067147°
E162.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950180053710938 y=0.206100463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950180053710938 × 215)
    floor (0.950180053710938 × 32768)
    floor (31135.5)     		tx = 31135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206100463867188 × 215)
    floor (0.206100463867188 × 32768)
    floor (6753.5)     		ty = 6753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31135 / 6753 ti = "15/31135/6753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31135/6753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31135 ÷ 215
    31135 ÷ 32768     		x = 0.950164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6753 ÷ 215
    6753 ÷ 32768     		y = 0.206085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950164794921875 × 2 - 1) × π
    0.90032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82846883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206085205078125 × 2 - 1) × π
    0.58782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84672112096304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82846883} λ = 2.82846883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84672112096304))-π/2
    2×atan(6.33900059371719)-π/2
    2×1.41433218184268-π/2
    2.82866436368536-1.57079632675     		φ = 1.25786804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82846883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25786804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.070530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31135 KachelY 6753 2.82846883 1.25786804 162.059326 72.070530
    Oben rechts KachelX + 1 31136 KachelY 6753 2.82866057 1.25786804 162.070312 72.070530
    Unten links KachelX 31135 KachelY + 1 6754 2.82846883 1.25780900 162.059326 72.067147
    Unten rechts KachelX + 1 31136 KachelY + 1 6754 2.82866057 1.25780900 162.070312 72.067147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25786804-1.25780900) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dl = 376.143840000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25786804-1.25780900) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dr = 376.143840000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82846883-2.82866057) × cos(1.25786804) × R
    0.000191739999999996 × 0.307846030357859 × 6371000     		do = 376.05718077125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82846883-2.82866057) × cos(1.25780900) × R
    0.000191739999999996 × 0.307902202613888 × 6371000     		du = 376.125799425241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25786804)-sin(1.25780900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307846030357859-0.307902202613888)×R²
    abs(2.82866057-2.82846883)×5.61722560286082e-05×R²
    0.000191739999999996×5.61722560286082e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.61722560286082e-05×40589641000000     		ar = 141464.497317596m²