Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31135 / 12949
↖ ↑ ↗
← N 72.988876°
W  8.970337°		 ← 178.69 m → N 72.988876°
W  8.964844°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 72.987269°
W  8.970337°		 ← 178.71 m →
31 935 m²		 N 72.987269°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475090026855469 y=0.197593688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475090026855469 × 216)
    floor (0.475090026855469 × 65536)
    floor (31135.5)     		tx = 31135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197593688964844 × 216)
    floor (0.197593688964844 × 65536)
    floor (12949.5)     		ty = 12949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31135 / 12949 ti = "16/31135/12949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31135/12949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31135 ÷ 216
    31135 ÷ 65536     		x = 0.475082397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12949 ÷ 216
    12949 ÷ 65536     		y = 0.197586059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475082397460938 × 2 - 1) × π
    -0.049835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15656191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197586059570312 × 2 - 1) × π
    0.604827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90012282713979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15656191} λ = -0.15656191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90012282713979))-π/2
    2×atan(6.68671570200598)-π/2
    2×1.42234626219912-π/2
    2.84469252439823-1.57079632675     		φ = 1.27389620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15656191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.970337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27389620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.988876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31135 KachelY 12949 -0.15656191 1.27389620 -8.970337 72.988876
    Oben rechts KachelX + 1 31136 KachelY 12949 -0.15646604 1.27389620 -8.964844 72.988876
    Unten links KachelX 31135 KachelY + 1 12950 -0.15656191 1.27386815 -8.970337 72.987269
    Unten rechts KachelX + 1 31136 KachelY + 1 12950 -0.15646604 1.27386815 -8.964844 72.987269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27389620-1.27386815) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dl = 178.706550000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27389620-1.27386815) × R
    2.80500000000572e-05 × 6371000     		dr = 178.706550000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15656191--0.15646604) × cos(1.27389620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292557369562362 × 6371000     		do = 178.690463352057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15656191--0.15646604) × cos(1.27386815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292584192202904 × 6371000     		du = 178.706846292859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27389620)-sin(1.27386815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292557369562362-0.292584192202904)×R²
    abs(-0.15646604--0.15656191)×2.68226405416017e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68226405416017e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68226405416017e-05×40589641000000     		ar = 31934.6200948298m²