Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31134 / 12954
↖ ↑ ↗
← N 72.980838°
W  8.975830°		 ← 178.79 m → N 72.980838°
W  8.970337°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
N 72.979231°
W  8.975830°		 ← 178.81 m →
31 964 m²		 N 72.979231°
W  8.970337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475074768066406 y=0.197669982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475074768066406 × 216)
    floor (0.475074768066406 × 65536)
    floor (31134.5)     		tx = 31134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197669982910156 × 216)
    floor (0.197669982910156 × 65536)
    floor (12954.5)     		ty = 12954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31134 / 12954 ti = "16/31134/12954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31134/12954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31134 ÷ 216
    31134 ÷ 65536     		x = 0.475067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12954 ÷ 216
    12954 ÷ 65536     		y = 0.197662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197662353515625 × 2 - 1) × π
    0.60467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89964345814359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15665779} λ = -0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89964345814359))-π/2
    2×atan(6.68351106597498)-π/2
    2×1.42227612465837-π/2
    2.84455224931673-1.57079632675     		φ = 1.27375592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27375592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.980838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31134 KachelY 12954 -0.15665779 1.27375592 -8.975830 72.980838
    Oben rechts KachelX + 1 31135 KachelY 12954 -0.15656191 1.27375592 -8.970337 72.980838
    Unten links KachelX 31134 KachelY + 1 12955 -0.15665779 1.27372786 -8.975830 72.979231
    Unten rechts KachelX + 1 31135 KachelY + 1 12955 -0.15656191 1.27372786 -8.970337 72.979231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27375592-1.27372786) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27375592-1.27372786) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15665779--0.15656191) × cos(1.27375592) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292691509149007 × 6371000     		do = 178.791041547091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15665779--0.15656191) × cos(1.27372786) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		du = 178.807431334329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27375592)-sin(1.27372786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292691509149007-0.292718340200048)×R²
    abs(-0.15656191--0.15665779)×2.68310510413983e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.68310510413983e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.68310510413983e-05×40589641000000     		ar = 31963.9859882035m²