Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31133 / 19202
↖ ↑ ↗
← N 59.528747°
W  8.981323°		 ← 309.73 m → N 59.528747°
W  8.975830°		 →
↑
309.76 m
↓
↑
309.76 m
↓
N 59.525962°
W  8.981323°		 ← 309.76 m →
95 947 m²		 N 59.525962°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475059509277344 y=0.293006896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475059509277344 × 216)
    floor (0.475059509277344 × 65536)
    floor (31133.5)     		tx = 31133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293006896972656 × 216)
    floor (0.293006896972656 × 65536)
    floor (19202.5)     		ty = 19202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31133 / 19202 ti = "16/31133/19202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31133/19202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31133 ÷ 216
    31133 ÷ 65536     		x = 0.475051879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19202 ÷ 216
    19202 ÷ 65536     		y = 0.292999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15675366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292999267578125 × 2 - 1) × π
    0.41400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30062396049136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15675366} λ = -0.15675366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30062396049136))-π/2
    2×atan(3.67158687819709)-π/2
    2×1.30488448275158-π/2
    2.60976896550316-1.57079632675     		φ = 1.03897264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15675366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03897264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.528747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31133 KachelY 19202 -0.15675366 1.03897264 -8.981323 59.528747
    Oben rechts KachelX + 1 31134 KachelY 19202 -0.15665779 1.03897264 -8.975830 59.528747
    Unten links KachelX 31133 KachelY + 1 19203 -0.15675366 1.03892402 -8.981323 59.525962
    Unten rechts KachelX + 1 31134 KachelY + 1 19203 -0.15665779 1.03892402 -8.975830 59.525962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03897264-1.03892402) × R
    4.86199999998327e-05 × 6371000     		dl = 309.758019998934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03897264-1.03892402) × R
    4.86199999998327e-05 × 6371000     		dr = 309.758019998934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15675366--0.15665779) × cos(1.03897264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50710598953406 × 6371000     		do = 309.734136501145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15675366--0.15665779) × cos(1.03892402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507147893720248 × 6371000     		du = 309.759731065581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03897264)-sin(1.03892402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50710598953406-0.507147893720248)×R²
    abs(-0.15665779--0.15675366)×4.19041861884351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19041861884351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19041861884351e-05×40589641000000     		ar = 95946.5969282028m²