Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31132 / 20138
↖ ↑ ↗
← N 56.818920°
W  8.986817°		 ← 334.31 m → N 56.818920°
W  8.981323°		 →
↑
334.29 m
↓
↑
334.29 m
↓
N 56.815914°
W  8.986817°		 ← 334.34 m →
111 760 m²		 N 56.815914°
W  8.981323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475044250488281 y=0.307289123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475044250488281 × 216)
    floor (0.475044250488281 × 65536)
    floor (31132.5)     		tx = 31132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307289123535156 × 216)
    floor (0.307289123535156 × 65536)
    floor (20138.5)     		ty = 20138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31132 / 20138 ti = "16/31132/20138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31132/20138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31132 ÷ 216
    31132 ÷ 65536     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20138 ÷ 216
    20138 ÷ 65536     		y = 0.307281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307281494140625 × 2 - 1) × π
    0.38543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21088608440262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21088608440262))-π/2
    2×atan(3.3564574398698)-π/2
    2×1.28123678498613-π/2
    2.56247356997227-1.57079632675     		φ = 0.99167724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99167724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.818920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31132 KachelY 20138 -0.15684954 0.99167724 -8.986817 56.818920
    Oben rechts KachelX + 1 31133 KachelY 20138 -0.15675366 0.99167724 -8.981323 56.818920
    Unten links KachelX 31132 KachelY + 1 20139 -0.15684954 0.99162477 -8.986817 56.815914
    Unten rechts KachelX + 1 31133 KachelY + 1 20139 -0.15675366 0.99162477 -8.981323 56.815914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99167724-0.99162477) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dl = 334.286369999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99167724-0.99162477) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dr = 334.286369999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15675366) × cos(0.99167724) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.547286873257802 × 6371000     		do = 334.310996514172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15675366) × cos(0.99162477) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.547330787013119 × 6371000     		du = 334.3378212966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99167724)-sin(0.99162477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547286873257802-0.547330787013119)×R²
    abs(-0.15675366--0.15684954)×4.39137553174263e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.39137553174263e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.39137553174263e-05×40589641000000     		ar = 111760.093081245m²