Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31131 / 19882
↖ ↑ ↗
← N 57.580670°
W  8.992310°		 ← 327.45 m → N 57.580670°
W  8.986817°		 →
↑
327.47 m
↓
↑
327.47 m
↓
N 57.577725°
W  8.992310°		 ← 327.48 m →
107 234 m²		 N 57.577725°
W  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475028991699219 y=0.303382873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475028991699219 × 216)
    floor (0.475028991699219 × 65536)
    floor (31131.5)     		tx = 31131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303382873535156 × 216)
    floor (0.303382873535156 × 65536)
    floor (19882.5)     		ty = 19882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31131 / 19882 ti = "16/31131/19882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31131/19882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31131 ÷ 216
    31131 ÷ 65536     		x = 0.475021362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19882 ÷ 216
    19882 ÷ 65536     		y = 0.303375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475021362304688 × 2 - 1) × π
    -0.049957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15694541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303375244140625 × 2 - 1) × π
    0.39324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23542977700809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15694541} λ = -0.15694541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23542977700809))-π/2
    2×atan(3.43985657433241)-π/2
    2×1.28788429704332-π/2
    2.57576859408665-1.57079632675     		φ = 1.00497227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15694541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.992310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00497227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.580670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31131 KachelY 19882 -0.15694541 1.00497227 -8.992310 57.580670
    Oben rechts KachelX + 1 31132 KachelY 19882 -0.15684954 1.00497227 -8.986817 57.580670
    Unten links KachelX 31131 KachelY + 1 19883 -0.15694541 1.00492087 -8.992310 57.577725
    Unten rechts KachelX + 1 31132 KachelY + 1 19883 -0.15684954 1.00492087 -8.986817 57.577725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00497227-1.00492087) × R
    5.13999999998127e-05 × 6371000     		dl = 327.469399998807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00497227-1.00492087) × R
    5.13999999998127e-05 × 6371000     		dr = 327.469399998807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15694541--0.15684954) × cos(1.00497227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.536111623115192 × 6371000     		do = 327.450422753601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15694541--0.15684954) × cos(1.00492087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.536155011567954 × 6371000     		du = 327.476923889908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00497227)-sin(1.00492087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536111623115192-0.536155011567954)×R²
    abs(-0.15684954--0.15694541)×4.33884527621942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33884527621942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33884527621942e-05×40589641000000     		ar = 107234.332647367m²