Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31131 / 19203
↖ ↑ ↗
← N 59.525962°
W  8.992310°		 ← 309.76 m → N 59.525962°
W  8.986817°		 →
↑
309.82 m
↓
↑
309.82 m
↓
N 59.523175°
W  8.992310°		 ← 309.79 m →
95 974 m²		 N 59.523175°
W  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475028991699219 y=0.293022155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475028991699219 × 216)
    floor (0.475028991699219 × 65536)
    floor (31131.5)     		tx = 31131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293022155761719 × 216)
    floor (0.293022155761719 × 65536)
    floor (19203.5)     		ty = 19203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31131 / 19203 ti = "16/31131/19203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31131/19203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31131 ÷ 216
    31131 ÷ 65536     		x = 0.475021362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19203 ÷ 216
    19203 ÷ 65536     		y = 0.293014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475021362304688 × 2 - 1) × π
    -0.049957275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15694541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293014526367188 × 2 - 1) × π
    0.413970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30052808669212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15694541} λ = -0.15694541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30052808669212))-π/2
    2×atan(3.67123488608751)-π/2
    2×1.30486017265824-π/2
    2.60972034531648-1.57079632675     		φ = 1.03892402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15694541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.992310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03892402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.525962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31131 KachelY 19203 -0.15694541 1.03892402 -8.992310 59.525962
    Oben rechts KachelX + 1 31132 KachelY 19203 -0.15684954 1.03892402 -8.986817 59.525962
    Unten links KachelX 31131 KachelY + 1 19204 -0.15694541 1.03887539 -8.992310 59.523175
    Unten rechts KachelX + 1 31132 KachelY + 1 19204 -0.15684954 1.03887539 -8.986817 59.523175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03892402-1.03887539) × R
    4.8629999999994e-05 × 6371000     		dl = 309.821729999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03892402-1.03887539) × R
    4.8629999999994e-05 × 6371000     		dr = 309.821729999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15694541--0.15684954) × cos(1.03892402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507147893720248 × 6371000     		do = 309.759731065581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15694541--0.15684954) × cos(1.03887539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507189805325931 × 6371000     		du = 309.785330161753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03892402)-sin(1.03887539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507147893720248-0.507189805325931)×R²
    abs(-0.15684954--0.15694541)×4.19116056832314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19116056832314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19116056832314e-05×40589641000000     		ar = 95974.2613600917m²