Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31130 / 6774
↖ ↑ ↗
← N 71.999370°
E162.004395°		 ← 377.50 m → N 71.999370°
E162.015381°		 →
↑
377.55 m
↓
↑
377.55 m
↓
N 71.995974°
E162.004395°		 ← 377.57 m →
142 537 m²		 N 71.995974°
E162.015381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950027465820312 y=0.206741333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950027465820312 × 215)
    floor (0.950027465820312 × 32768)
    floor (31130.5)     		tx = 31130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206741333007812 × 215)
    floor (0.206741333007812 × 32768)
    floor (6774.5)     		ty = 6774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31130 / 6774 ti = "15/31130/6774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31130/6774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31130 ÷ 215
    31130 ÷ 32768     		x = 0.95001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6774 ÷ 215
    6774 ÷ 32768     		y = 0.20672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95001220703125 × 2 - 1) × π
    0.9000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82751009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20672607421875 × 2 - 1) × π
    0.5865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84269442139496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82751009} λ = 2.82751009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84269442139496))-π/2
    2×atan(6.31352666511321)-π/2
    2×1.41371119146381-π/2
    2.82742238292761-1.57079632675     		φ = 1.25662606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82751009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.004395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25662606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.999370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31130 KachelY 6774 2.82751009 1.25662606 162.004395 71.999370
    Oben rechts KachelX + 1 31131 KachelY 6774 2.82770183 1.25662606 162.015381 71.999370
    Unten links KachelX 31130 KachelY + 1 6775 2.82751009 1.25656680 162.004395 71.995974
    Unten rechts KachelX + 1 31131 KachelY + 1 6775 2.82770183 1.25656680 162.015381 71.995974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25662606-1.25656680) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dl = 377.545460000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25662606-1.25656680) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dr = 377.545460000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82751009-2.82770183) × cos(1.25662606) × R
    0.000191739999999996 × 0.309027457343564 × 6371000     		do = 377.500383079283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82751009-2.82770183) × cos(1.25656680) × R
    0.000191739999999996 × 0.309083816208608 × 6371000     		du = 377.569229690283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25662606)-sin(1.25656680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309027457343564-0.309083816208608)×R²
    abs(2.82770183-2.82751009)×5.6358865043904e-05×R²
    0.000191739999999996×5.6358865043904e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.6358865043904e-05×40589641000000     		ar = 142536.552184318m²