Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3113 / 3602
↖ ↑ ↗
← N 21.207459°
W 43.198242°		 ← 4 555.56 m → N 21.207459°
W 43.154297°		 →
↑
4 556.22 m
↓
↑
4 556.22 m
↓
N 21.166484°
W 43.198242°		 ← 4 556.83 m →
20 759 033 m²		 N 21.166484°
W 43.154297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38006591796875 y=0.43975830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38006591796875 × 213)
    floor (0.38006591796875 × 8192)
    floor (3113.5)     		tx = 3113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43975830078125 × 213)
    floor (0.43975830078125 × 8192)
    floor (3602.5)     		ty = 3602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3113 / 3602 ti = "13/3113/3602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3113/3602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3113 ÷ 213
    3113 ÷ 8192     		x = 0.3800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3602 ÷ 213
    3602 ÷ 8192     		y = 0.439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75395156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.378893254596924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75395156} λ = -0.75395156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378893254596924))-π/2
    2×atan(1.4606671079221)-π/2
    2×0.97046815380627-π/2
    1.94093630761254-1.57079632675     		φ = 0.37013998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75395156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37013998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.207459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3113 KachelY 3602 -0.75395156 0.37013998 -43.198242 21.207459
    Oben rechts KachelX + 1 3114 KachelY 3602 -0.75318457 0.37013998 -43.154297 21.207459
    Unten links KachelX 3113 KachelY + 1 3603 -0.75395156 0.36942483 -43.198242 21.166484
    Unten rechts KachelX + 1 3114 KachelY + 1 3603 -0.75318457 0.36942483 -43.154297 21.166484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37013998-0.36942483) × R
    0.000715149999999998 × 6371000     		dl = 4556.22064999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37013998-0.36942483) × R
    0.000715149999999998 × 6371000     		dr = 4556.22064999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75395156--0.75318457) × cos(0.37013998) × R
    0.000766989999999912 × 0.932276717543836 × 6371000     		do = 4555.56392470065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75395156--0.75318457) × cos(0.36942483) × R
    0.000766989999999912 × 0.932535181726061 × 6371000     		du = 4556.82690819281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37013998)-sin(0.36942483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932276717543836-0.932535181726061)×R²
    abs(-0.75318457--0.75395156)×0.000258464182225637×R²
    0.000766989999999912×0.000258464182225637×6371000²
    0.000766989999999912×0.000258464182225637×40589641000000     		ar = 20759032.5265984m²