Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31129 / 14039
↖ ↑ ↗
← N 71.146970°
W  9.003296°		 ← 197.39 m → N 71.146970°
W  8.997803°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 71.145194°
W  9.003296°		 ← 197.41 m →
38 974 m²		 N 71.145194°
W  8.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474998474121094 y=0.214225769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474998474121094 × 216)
    floor (0.474998474121094 × 65536)
    floor (31129.5)     		tx = 31129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214225769042969 × 216)
    floor (0.214225769042969 × 65536)
    floor (14039.5)     		ty = 14039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31129 / 14039 ti = "16/31129/14039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31129/14039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31129 ÷ 216
    31129 ÷ 65536     		x = 0.474990844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14039 ÷ 216
    14039 ÷ 65536     		y = 0.214218139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474990844726562 × 2 - 1) × π
    -0.050018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15713716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214218139648438 × 2 - 1) × π
    0.571563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79562038596806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15713716} λ = -0.15713716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79562038596806))-π/2
    2×atan(6.02321027808331)-π/2
    2×1.40627260189733-π/2
    2.81254520379467-1.57079632675     		φ = 1.24174888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15713716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.003296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24174888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.146970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31129 KachelY 14039 -0.15713716 1.24174888 -9.003296 71.146970
    Oben rechts KachelX + 1 31130 KachelY 14039 -0.15704128 1.24174888 -8.997803 71.146970
    Unten links KachelX 31129 KachelY + 1 14040 -0.15713716 1.24171789 -9.003296 71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 31130 KachelY + 1 14040 -0.15704128 1.24171789 -8.997803 71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24174888-1.24171789) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24174888-1.24171789) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15713716--0.15704128) × cos(1.24174888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.323141725853213 × 6371000     		do = 197.391601487174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15713716--0.15704128) × cos(1.24171789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 197.409516080861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24174888)-sin(1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323141725853213-0.32317105310259)×R²
    abs(-0.15704128--0.15713716)×2.93272493777641e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.93272493777641e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.93272493777641e-05×40589641000000     		ar = 38974.2313739693m²