Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31128 / 37992
↖ ↑ ↗
← S 27.566721°
W  9.008789°		 ← 541.45 m → S 27.566721°
W  9.003296°		 →
↑
541.47 m
↓
↑
541.47 m
↓
S 27.571591°
W  9.008789°		 ← 541.42 m →
293 171 m²		 S 27.571591°
W  9.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474983215332031 y=0.579719543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474983215332031 × 216)
    floor (0.474983215332031 × 65536)
    floor (31128.5)     		tx = 31128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579719543457031 × 216)
    floor (0.579719543457031 × 65536)
    floor (37992.5)     		ty = 37992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31128 / 37992 ti = "16/31128/37992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31128/37992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31128 ÷ 216
    31128 ÷ 65536     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37992 ÷ 216
    37992 ÷ 65536     		y = 0.5797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.500844727230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.500844727230347))-π/2
    2×atan(0.606018523086664)-π/2
    2×0.544833136933428-π/2
    1.08966627386686-1.57079632675     		φ = -0.48113005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48113005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.566721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31128 KachelY 37992 -0.15723303 -0.48113005 -9.008789 -27.566721
    Oben rechts KachelX + 1 31129 KachelY 37992 -0.15713716 -0.48113005 -9.003296 -27.566721
    Unten links KachelX 31128 KachelY + 1 37993 -0.15723303 -0.48121504 -9.008789 -27.571591
    Unten rechts KachelX + 1 31129 KachelY + 1 37993 -0.15713716 -0.48121504 -9.003296 -27.571591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48113005--0.48121504) × R
    8.4990000000007e-05 × 6371000     		dl = 541.471290000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48113005--0.48121504) × R
    8.4990000000007e-05 × 6371000     		dr = 541.471290000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15713716) × cos(-0.48113005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886472522981064 × 6371000     		do = 541.446575477866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15713716) × cos(-0.48121504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886433188002822 × 6371000     		du = 541.422550154223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48113005)-sin(-0.48121504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886472522981064-0.886433188002822)×R²
    abs(-0.15713716--0.15723303)×3.93349782416008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93349782416008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93349782416008e-05×40589641000000     		ar = 293171.271354959m²