Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31128 / 20136
↖ ↑ ↗
← N 56.824933°
W  9.008789°		 ← 334.22 m → N 56.824933°
W  9.003296°		 →
↑
334.29 m
↓
↑
334.29 m
↓
N 56.821927°
W  9.008789°		 ← 334.25 m →
111 731 m²		 N 56.821927°
W  9.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474983215332031 y=0.307258605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474983215332031 × 216)
    floor (0.474983215332031 × 65536)
    floor (31128.5)     		tx = 31128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307258605957031 × 216)
    floor (0.307258605957031 × 65536)
    floor (20136.5)     		ty = 20136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31128 / 20136 ti = "16/31128/20136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31128/20136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31128 ÷ 216
    31128 ÷ 65536     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20136 ÷ 216
    20136 ÷ 65536     		y = 0.3072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3072509765625 × 2 - 1) × π
    0.385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2110778320011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2110778320011))-π/2
    2×atan(3.35710109423091)-π/2
    2×1.28128925124753-π/2
    2.56257850249507-1.57079632675     		φ = 0.99178218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99178218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.824933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31128 KachelY 20136 -0.15723303 0.99178218 -9.008789 56.824933
    Oben rechts KachelX + 1 31129 KachelY 20136 -0.15713716 0.99178218 -9.003296 56.824933
    Unten links KachelX 31128 KachelY + 1 20137 -0.15723303 0.99172971 -9.008789 56.821927
    Unten rechts KachelX + 1 31129 KachelY + 1 20137 -0.15713716 0.99172971 -9.003296 56.821927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99178218-0.99172971) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dl = 334.286369999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99178218-0.99172971) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dr = 334.286369999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15713716) × cos(0.99178218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547199041227079 × 6371000     		do = 334.222482137219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15713716) × cos(0.99172971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547242957995748 × 6371000     		du = 334.249305962419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99178218)-sin(0.99172971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547199041227079-0.547242957995748)×R²
    abs(-0.15713716--0.15723303)×4.39167686686615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39167686686615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39167686686615e-05×40589641000000     		ar = 111730.50377101m²