Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31127 / 6778
↖ ↑ ↗
← N 71.985784°
E161.971435°		 ← 377.80 m → N 71.985784°
E161.982422°		 →
↑
377.86 m
↓
↑
377.86 m
↓
N 71.982386°
E161.971435°		 ← 377.86 m →
142 768 m²		 N 71.982386°
E161.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949935913085938 y=0.206863403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949935913085938 × 215)
    floor (0.949935913085938 × 32768)
    floor (31127.5)     		tx = 31127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206863403320312 × 215)
    floor (0.206863403320312 × 32768)
    floor (6778.5)     		ty = 6778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31127 / 6778 ti = "15/31127/6778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31127/6778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31127 ÷ 215
    31127 ÷ 32768     		x = 0.949920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6778 ÷ 215
    6778 ÷ 32768     		y = 0.20684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949920654296875 × 2 - 1) × π
    0.89984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82693484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20684814453125 × 2 - 1) × π
    0.5863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84192743100104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82693484} λ = 2.82693484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84192743100104))-π/2
    2×atan(6.30868610737724)-π/2
    2×1.4135926376837-π/2
    2.82718527536739-1.57079632675     		φ = 1.25638895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82693484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25638895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.985784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31127 KachelY 6778 2.82693484 1.25638895 161.971435 71.985784
    Oben rechts KachelX + 1 31128 KachelY 6778 2.82712659 1.25638895 161.982422 71.985784
    Unten links KachelX 31127 KachelY + 1 6779 2.82693484 1.25632964 161.971435 71.982386
    Unten rechts KachelX + 1 31128 KachelY + 1 6779 2.82712659 1.25632964 161.982422 71.982386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25638895-1.25632964) × R
    5.93100000001456e-05 × 6371000     		dl = 377.864010000928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25638895-1.25632964) × R
    5.93100000001456e-05 × 6371000     		dr = 377.864010000928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82693484-2.82712659) × cos(1.25638895) × R
    0.000191750000000379 × 0.30925295285899 × 6371000     		do = 377.795545391689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82693484-2.82712659) × cos(1.25632964) × R
    0.000191750000000379 × 0.309309354927941 × 6371000     		du = 377.8644483729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25638895)-sin(1.25632964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30925295285899-0.309309354927941)×R²
    abs(2.82712659-2.82693484)×5.64020689502454e-05×R²
    0.000191750000000379×5.64020689502454e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.64020689502454e-05×40589641000000     		ar = 142768.357762685m²