Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31127 / 6772
↖ ↑ ↗
← N 72.006159°
E161.971435°		 ← 377.38 m → N 72.006159°
E161.982422°		 →
↑
377.42 m
↓
↑
377.42 m
↓
N 72.002764°
E161.971435°		 ← 377.45 m →
142 444 m²		 N 72.002764°
E161.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949935913085938 y=0.206680297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949935913085938 × 215)
    floor (0.949935913085938 × 32768)
    floor (31127.5)     		tx = 31127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206680297851562 × 215)
    floor (0.206680297851562 × 32768)
    floor (6772.5)     		ty = 6772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31127 / 6772 ti = "15/31127/6772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31127/6772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31127 ÷ 215
    31127 ÷ 32768     		x = 0.949920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6772 ÷ 215
    6772 ÷ 32768     		y = 0.2066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949920654296875 × 2 - 1) × π
    0.89984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82693484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2066650390625 × 2 - 1) × π
    0.586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84307791659192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82693484} λ = 2.82693484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84307791659192))-π/2
    2×atan(6.31594833658517)-π/2
    2×1.41377043593258-π/2
    2.82754087186515-1.57079632675     		φ = 1.25674455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82693484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25674455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.006159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31127 KachelY 6772 2.82693484 1.25674455 161.971435 72.006159
    Oben rechts KachelX + 1 31128 KachelY 6772 2.82712659 1.25674455 161.982422 72.006159
    Unten links KachelX 31127 KachelY + 1 6773 2.82693484 1.25668531 161.971435 72.002764
    Unten rechts KachelX + 1 31128 KachelY + 1 6773 2.82712659 1.25668531 161.982422 72.002764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25674455-1.25668531) × R
    5.9240000000127e-05 × 6371000     		dl = 377.418040000809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25674455-1.25668531) × R
    5.9240000000127e-05 × 6371000     		dr = 377.418040000809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82693484-2.82712659) × cos(1.25674455) × R
    0.000191750000000379 × 0.308914764890687 × 6371000     		do = 377.382401695732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82693484-2.82712659) × cos(1.25668531) × R
    0.000191750000000379 × 0.308971106904009 × 6371000     		du = 377.451231310629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25674455)-sin(1.25668531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308914764890687-0.308971106904009)×R²
    abs(2.82712659-2.82693484)×5.6342013321331e-05×R²
    0.000191750000000379×5.6342013321331e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.6342013321331e-05×40589641000000     		ar = 142443.915189988m²