Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31125 / 19188
↖ ↑ ↗
← N 59.567723°
W  9.025268°		 ← 309.38 m → N 59.567723°
W  9.019775°		 →
↑
309.38 m
↓
↑
309.38 m
↓
N 59.564941°
W  9.025268°		 ← 309.40 m →
95 717 m²		 N 59.564941°
W  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474937438964844 y=0.292793273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474937438964844 × 216)
    floor (0.474937438964844 × 65536)
    floor (31125.5)     		tx = 31125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292793273925781 × 216)
    floor (0.292793273925781 × 65536)
    floor (19188.5)     		ty = 19188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31125 / 19188 ti = "16/31125/19188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31125/19188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31125 ÷ 216
    31125 ÷ 65536     		x = 0.474929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19188 ÷ 216
    19188 ÷ 65536     		y = 0.29278564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.050140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15752065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29278564453125 × 2 - 1) × π
    0.4144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30196619368073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15752065} λ = -0.15752065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30196619368073))-π/2
    2×atan(3.67651831278985)-π/2
    2×1.30522461319321-π/2
    2.61044922638643-1.57079632675     		φ = 1.03965290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15752065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.025268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03965290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.567723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31125 KachelY 19188 -0.15752065 1.03965290 -9.025268 59.567723
    Oben rechts KachelX + 1 31126 KachelY 19188 -0.15742478 1.03965290 -9.019775 59.567723
    Unten links KachelX 31125 KachelY + 1 19189 -0.15752065 1.03960434 -9.025268 59.564941
    Unten rechts KachelX + 1 31126 KachelY + 1 19189 -0.15742478 1.03960434 -9.019775 59.564941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03965290-1.03960434) × R
    4.85600000001973e-05 × 6371000     		dl = 309.375760001257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03965290-1.03960434) × R
    4.85600000001973e-05 × 6371000     		dr = 309.375760001257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15752065--0.15742478) × cos(1.03965290) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.506519567239738 × 6371000     		do = 309.375956935808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15752065--0.15742478) × cos(1.03960434) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.506561436456838 × 6371000     		du = 309.401530141551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03965290)-sin(1.03960434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506519567239738-0.506561436456838)×R²
    abs(-0.15742478--0.15752065)×4.18692170993662e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.18692170993662e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.18692170993662e-05×40589641000000     		ar = 95717.3776871954m²