Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31125 / 16965
↖ ↑ ↗
← N 65.208379°
W  9.025268°		 ← 256.12 m → N 65.208379°
W  9.019775°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
N 65.206076°
W  9.025268°		 ← 256.14 m →
65 598 m²		 N 65.206076°
W  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474937438964844 y=0.258872985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474937438964844 × 216)
    floor (0.474937438964844 × 65536)
    floor (31125.5)     		tx = 31125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258872985839844 × 216)
    floor (0.258872985839844 × 65536)
    floor (16965.5)     		ty = 16965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31125 / 16965 ti = "16/31125/16965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31125/16965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31125 ÷ 216
    31125 ÷ 65536     		x = 0.474929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16965 ÷ 216
    16965 ÷ 65536     		y = 0.258865356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.050140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15752065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258865356445312 × 2 - 1) × π
    0.482269287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51509364939149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15752065} λ = -0.15752065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51509364939149))-π/2
    2×atan(4.54984719731614)-π/2
    2×1.35444862440886-π/2
    2.70889724881772-1.57079632675     		φ = 1.13810092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15752065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.025268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13810092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.208379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31125 KachelY 16965 -0.15752065 1.13810092 -9.025268 65.208379
    Oben rechts KachelX + 1 31126 KachelY 16965 -0.15742478 1.13810092 -9.019775 65.208379
    Unten links KachelX 31125 KachelY + 1 16966 -0.15752065 1.13806072 -9.025268 65.206076
    Unten rechts KachelX + 1 31126 KachelY + 1 16966 -0.15742478 1.13806072 -9.019775 65.206076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13810092-1.13806072) × R
    4.02000000001568e-05 × 6371000     		dl = 256.114200000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13810092-1.13806072) × R
    4.02000000001568e-05 × 6371000     		dr = 256.114200000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15752065--0.15742478) × cos(1.13810092) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.419319317592876 × 6371000     		do = 256.115110910543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15752065--0.15742478) × cos(1.13806072) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.419355812374319 × 6371000     		du = 256.137401476717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13810092)-sin(1.13806072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419319317592876-0.419355812374319)×R²
    abs(-0.15742478--0.15752065)×3.64947814435745e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.64947814435745e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.64947814435745e-05×40589641000000     		ar = 65597.5712127676m²