Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31122 / 20137
↖ ↑ ↗
← N 56.821927°
W  9.041748°		 ← 334.25 m → N 56.821927°
W  9.036255°		 →
↑
334.29 m
↓
↑
334.29 m
↓
N 56.818920°
W  9.041748°		 ← 334.28 m →
111 739 m²		 N 56.818920°
W  9.036255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474891662597656 y=0.307273864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474891662597656 × 216)
    floor (0.474891662597656 × 65536)
    floor (31122.5)     		tx = 31122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307273864746094 × 216)
    floor (0.307273864746094 × 65536)
    floor (20137.5)     		ty = 20137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31122 / 20137 ti = "16/31122/20137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31122/20137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31122 ÷ 216
    31122 ÷ 65536     		x = 0.474884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20137 ÷ 216
    20137 ÷ 65536     		y = 0.307266235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.05023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15780827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307266235351562 × 2 - 1) × π
    0.385467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21098195820186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15780827} λ = -0.15780827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21098195820186))-π/2
    2×atan(3.35677925162296)-π/2
    2×1.28126301916936-π/2
    2.56252603833871-1.57079632675     		φ = 0.99172971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15780827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99172971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.821927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31122 KachelY 20137 -0.15780827 0.99172971 -9.041748 56.821927
    Oben rechts KachelX + 1 31123 KachelY 20137 -0.15771240 0.99172971 -9.036255 56.821927
    Unten links KachelX 31122 KachelY + 1 20138 -0.15780827 0.99167724 -9.041748 56.818920
    Unten rechts KachelX + 1 31123 KachelY + 1 20138 -0.15771240 0.99167724 -9.036255 56.818920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99172971-0.99167724) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dl = 334.286369999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99172971-0.99167724) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dr = 334.286369999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(0.99172971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547242957995748 × 6371000     		do = 334.249305962419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(0.99167724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547286873257802 × 6371000     		du = 334.276128867398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99172971)-sin(0.99167724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547242957995748-0.547286873257802)×R²
    abs(-0.15771240--0.15780827)×4.39152620534955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39152620534955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39152620534955e-05×40589641000000     		ar = 111739.470456363m²