Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31122 / 16964
↖ ↑ ↗
← N 65.210683°
W  9.041748°		 ← 256.09 m → N 65.210683°
W  9.036255°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
N 65.208379°
W  9.041748°		 ← 256.12 m →
65 592 m²		 N 65.208379°
W  9.036255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474891662597656 y=0.258857727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474891662597656 × 216)
    floor (0.474891662597656 × 65536)
    floor (31122.5)     		tx = 31122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258857727050781 × 216)
    floor (0.258857727050781 × 65536)
    floor (16964.5)     		ty = 16964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31122 / 16964 ti = "16/31122/16964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31122/16964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31122 ÷ 216
    31122 ÷ 65536     		x = 0.474884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16964 ÷ 216
    16964 ÷ 65536     		y = 0.25885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.05023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15780827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25885009765625 × 2 - 1) × π
    0.4822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51518952319073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15780827} λ = -0.15780827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51518952319073))-π/2
    2×atan(4.55028342936418)-π/2
    2×1.35446872440206-π/2
    2.70893744880412-1.57079632675     		φ = 1.13814112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15780827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13814112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.210683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31122 KachelY 16964 -0.15780827 1.13814112 -9.041748 65.210683
    Oben rechts KachelX + 1 31123 KachelY 16964 -0.15771240 1.13814112 -9.036255 65.210683
    Unten links KachelX 31122 KachelY + 1 16965 -0.15780827 1.13810092 -9.041748 65.208379
    Unten rechts KachelX + 1 31123 KachelY + 1 16965 -0.15771240 1.13810092 -9.036255 65.208379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13814112-1.13810092) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dl = 256.114199999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13814112-1.13810092) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dr = 256.114199999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(1.13814112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419282822133796 × 6371000     		do = 256.092819930402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(1.13810092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419319317592876 × 6371000     		du = 256.115110910469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13814112)-sin(1.13810092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419282822133796-0.419319317592876)×R²
    abs(-0.15771240--0.15780827)×3.64954590801325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64954590801325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64954590801325e-05×40589641000000     		ar = 65591.8622294675m²