Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31122 / 12946
↖ ↑ ↗
← N 72.993696°
W  9.041748°		 ← 178.64 m → N 72.993696°
W  9.036255°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
N 72.992090°
W  9.041748°		 ← 178.66 m →
31 914 m²		 N 72.992090°
W  9.036255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474891662597656 y=0.197547912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474891662597656 × 216)
    floor (0.474891662597656 × 65536)
    floor (31122.5)     		tx = 31122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197547912597656 × 216)
    floor (0.197547912597656 × 65536)
    floor (12946.5)     		ty = 12946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31122 / 12946 ti = "16/31122/12946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31122/12946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31122 ÷ 216
    31122 ÷ 65536     		x = 0.474884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12946 ÷ 216
    12946 ÷ 65536     		y = 0.197540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.05023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15780827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197540283203125 × 2 - 1) × π
    0.60491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90041044853751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15780827} λ = -0.15780827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90041044853751))-π/2
    2×atan(6.68863922113172)-π/2
    2×1.42238832929389-π/2
    2.84477665858779-1.57079632675     		φ = 1.27398033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15780827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27398033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.993696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31122 KachelY 12946 -0.15780827 1.27398033 -9.041748 72.993696
    Oben rechts KachelX + 1 31123 KachelY 12946 -0.15771240 1.27398033 -9.036255 72.993696
    Unten links KachelX 31122 KachelY + 1 12947 -0.15780827 1.27395229 -9.041748 72.992090
    Unten rechts KachelX + 1 31123 KachelY + 1 12947 -0.15771240 1.27395229 -9.036255 72.992090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27398033-1.27395229) × R
    2.8040000000118e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27398033-1.27395229) × R
    2.8040000000118e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(1.27398033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292476919385164 × 6371000     		do = 178.64132536773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15780827--0.15771240) × cos(1.27395229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292503733153389 × 6371000     		du = 178.65770288943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27398033)-sin(1.27395229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292476919385164-0.292503733153389)×R²
    abs(-0.15771240--0.15780827)×2.68137682250535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68137682250535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68137682250535e-05×40589641000000     		ar = 31914.4565706597m²