Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3112 / 3644
↖ ↑ ↗
← N 19.476950°
W 43.242188°		 ← 4 606.87 m → N 19.476950°
W 43.198242°		 →
↑
4 607.44 m
↓
↑
4 607.44 m
↓
N 19.435515°
W 43.242188°		 ← 4 608.04 m →
21 228 593 m²		 N 19.435515°
W 43.198242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37994384765625 y=0.44488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37994384765625 × 213)
    floor (0.37994384765625 × 8192)
    floor (3112.5)     		tx = 3112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44488525390625 × 213)
    floor (0.44488525390625 × 8192)
    floor (3644.5)     		ty = 3644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3112 / 3644 ti = "13/3112/3644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3112/3644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3112 ÷ 213
    3112 ÷ 8192     		x = 0.3798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3644 ÷ 213
    3644 ÷ 8192     		y = 0.44482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75471855} λ = -0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346679658052246))-π/2
    2×atan(1.41436357281067)-π/2
    2×0.955366618067884-π/2
    1.91073323613577-1.57079632675     		φ = 0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3112 KachelY 3644 -0.75471855 0.33993691 -43.242188 19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 3113 KachelY 3644 -0.75395156 0.33993691 -43.198242 19.476950
    Unten links KachelX 3112 KachelY + 1 3645 -0.75471855 0.33921372 -43.242188 19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 3113 KachelY + 1 3645 -0.75395156 0.33921372 -43.198242 19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33993691-0.33921372) × R
    0.000723189999999985 × 6371000     		dl = 4607.4434899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33993691-0.33921372) × R
    0.000723189999999985 × 6371000     		dr = 4607.4434899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75471855--0.75395156) × cos(0.33993691) × R
    0.000766990000000023 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 4606.86714840828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75471855--0.75395156) × cos(0.33921372) × R
    0.000766990000000023 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 4608.0442311337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33993691)-sin(0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.943016588309602)×R²
    abs(-0.75395156--0.75471855)×0.000240884956872689×R²
    0.000766990000000023×0.000240884956872689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240884956872689×40589641000000     		ar = 21228592.6485168m²