Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3112 / 3145
↖ ↑ ↗
← S 68.942607°
E 93.515625°		 ← 3 511.46 m → S 68.942607°
E 93.603516°		 →
↑
3 508.96 m
↓
↑
3 508.96 m
↓
S 68.974163°
E 93.515625°		 ← 3 506.44 m →
12 312 754 m²		 S 68.974163°
E 93.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7598876953125 y=0.7679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7598876953125 × 212)
    floor (0.7598876953125 × 4096)
    floor (3112.5)     		tx = 3112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7679443359375 × 212)
    floor (0.7679443359375 × 4096)
    floor (3145.5)     		ty = 3145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3112 / 3145 ti = "12/3112/3145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3112/3145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3112 ÷ 212
    3112 ÷ 4096     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3145 ÷ 212
    3145 ÷ 4096     		y = 0.767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.53564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68277692426245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68277692426245))-π/2
    2×atan(0.185857147552358)-π/2
    2×0.183760421464038-π/2
    0.367520842928075-1.57079632675     		φ = -1.20327548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20327548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.942607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3112 KachelY 3145 1.63215556 -1.20327548 93.515625 -68.942607
    Oben rechts KachelX + 1 3113 KachelY 3145 1.63368954 -1.20327548 93.603516 -68.942607
    Unten links KachelX 3112 KachelY + 1 3146 1.63215556 -1.20382625 93.515625 -68.974163
    Unten rechts KachelX + 1 3113 KachelY + 1 3146 1.63368954 -1.20382625 93.603516 -68.974163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20327548--1.20382625) × R
    0.000550770000000034 × 6371000     		dl = 3508.95567000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20327548--1.20382625) × R
    0.000550770000000034 × 6371000     		dr = 3508.95567000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63368954) × cos(-1.20327548) × R
    0.00153398000000005 × 0.359302940725674 × 6371000     		do = 3511.46281786665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63368954) × cos(-1.20382625) × R
    0.00153398000000005 × 0.35878889613588 × 6371000     		du = 3506.43906698907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20327548)-sin(-1.20382625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359302940725674-0.35878889613588)×R²
    abs(1.63368954-1.63215556)×0.000514044589793761×R²
    0.00153398000000005×0.000514044589793761×6371000²
    0.00153398000000005×0.000514044589793761×40589641000000     		ar = 12312753.6164378m²